周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章1分析力学.

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1、第五章第五章分析力学分析力学拉格朗日拉格朗日哈密顿哈密顿 为什么要学习分析力学为什么要学习分析力学? 前面是按前面是按“牛顿方式牛顿方式”研究力学问题研究力学问题, , 它着重分析力、它着重分析力、动量、速度、加速度、角动量、力矩等矢量动量、速度、加速度、角动量、力矩等矢量, , 称作称作“矢量矢量力学力学”. . 它运用牛顿运动定律处理力学问题它运用牛顿运动定律处理力学问题, , 称作称作“牛顿牛顿力学力学”. . 建立了运动方程建立了运动方程, ,并不意味大功告成并不意味大功告成. .因为还没有一般方因为还没有一般方法求得运动微分方程的解法求得运动微分方程的解. . 如何寻找方程的积分如何

2、寻找方程的积分以及利用这以及利用这些积分些积分, ,如何定性研究解的结构和定量地进行计算如何定性研究解的结构和定量地进行计算, ,这些都是这些都是力学中极为重要的课题力学中极为重要的课题. .牛顿方式在这些问题上会遇到困难牛顿方式在这些问题上会遇到困难 实际力学系统往往存在限制实际力学系统往往存在限制( (约束约束),),而约束力又取决于而约束力又取决于运动情况运动情况, ,它们作为未知量出现于运动方程中它们作为未知量出现于运动方程中, , 牛顿方式对牛顿方式对于受约束的力学系统于受约束的力学系统并不方便并不方便. . 分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取得的分析力学是数学、力学研究者

3、为克服上述困难所取得的成果的一部分成果的一部分, , 在一定程度上解决了上述问题在一定程度上解决了上述问题( (并末全部解决并末全部解决, ,有关的研究现在还在继续有关的研究现在还在继续). ). 它给出了力学系统在完全一般性它给出了力学系统在完全一般性的的广义坐标广义坐标下具有不变形式的动力学方程组，并突出了下具有不变形式的动力学方程组，并突出了能量能量函数函数的意义的意义. . 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, , 分析力学的分析力学的数学形式有着极好的性质数学形式有着极好的性质, , 它不仅提供了解决天体力学及一系它不仅提供了解决天体力学及一

4、系列动力学问题的较佳途径列动力学问题的较佳途径, , 同时给同时给量子力学的发展提供了启示量子力学的发展提供了启示, , 最适于成为引向现代物理的跳板最适于成为引向现代物理的跳板. . 其其最小作用量原理提供了建最小作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而富有概括性的出发点立相对论力学和量子力学最简练而富有概括性的出发点. . 分析力学代表作：分析力学代表作：17881788年拉格朗日的年拉格朗日的分析力学分析力学. . 全书全书没有一张图没有一张图, , 是完全用数学分析来解决所有的力学问题是完全用数学分析来解决所有的力学问题. . 1834 1834年哈密顿：坐标和动量为独立变量年

5、哈密顿：坐标和动量为独立变量, , 将微分方程的阶将微分方程的阶数降为一数降为一. 1843. 1843年引入变分法年引入变分法, , 提出了哈密顿方程提出了哈密顿方程, , 完善了分完善了分析力学析力学. . 直到最近直到最近, , 分析力学在非线性非完整系统中的研究分析力学在非线性非完整系统中的研究, , 非保非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌浑沌”现象的研究等等现象的研究等等, , 正在丰富分析力学的内容正在丰富分析力学的内容, , 且大大开阔它的应用范围且大大开阔它的应用范围. .导读导读 约束的概念约束的概念 约束方程约束方程 约束分类约束分类

6、 约束力约束力自由度自由度广义坐标广义坐标5.1 约束与广义坐标约束与广义坐标1 约束的概念约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对对机械运动所加的强制性的机械运动所加的强制性的限制条件限制条件叫作叫作约束约束. 一个质点可用矢径一个质点可用矢径r或三个坐标表示或三个坐标表示, n个质点组成的个质点组成的系统系统, 则由则由n个矢径或个矢径或3n个坐标描述个坐标描述, 它们它们确定每一时刻确定每一时刻各质点的位置以及质点组的形状各质点的位置以及质点组的形状确定系统的确定系统的位形位形. 约束条件对运动的限制由一些力来体现约束条件对运

7、动的限制由一些力来体现, 这些力一般这些力一般不是给定的不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力而是与运动状况有关的未知力. 因此因此, 对于动对于动力学问题力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑约束也应作为一个基本因素加以考虑. 位形不能决定系统的位形不能决定系统的“力学状态力学状态”, 仅由某时刻的位仅由某时刻的位形不能预言在下一个时刻系统的位形形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于对于n个质点的系个质点的系统，还需知道统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态个速度矢量才能确定系统的状态 给定了某一时刻的给定了某一时刻的坐标和速度坐标和速度, 由动力学方程原则上由动力学方程原则上

8、单值地确定该时刻的加速度单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一因而能够唯一地确定下一个时刻个时刻(或前一个时刻或前一个时刻)的坐标和速度的坐标和速度, 以此类推以此类推, 当知道当知道某一时刻的某一时刻的状态状态, 就知道了系统在任一时刻的状态就知道了系统在任一时刻的状态 几乎所有的力学系统都存在着约束几乎所有的力学系统都存在着约束。例如例如, 刚体内刚体内任意两质点间距任意两质点间距离离不变不变, 两个刚体用铰链连接两个刚体用铰链连接, 轮子无滑轮子无滑动地滚动动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的对状态的限制也就是对力学系统内各质点

9、的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度位置和速度加以限制加以限制, 其数学表示式是其数学表示式是(5.1) 0,;,321321trrrrrrrrfnn 约束方程约束方程坐标和速度必需满足的条件称为坐标和速度必需满足的条件称为约束条件约束条件. 某些约束仅某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制对力学系统的几何位置加以限制, 而对而对各质点的速度没有限制各质点的速度没有限制, 这种约束称为这种约束称为几何约束几何约束, 其数学其数学表示式是表示式是(5.2) 0;,321trrrrfn例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束何约束.

10、对于涉及力学系统运动情况的约束对于涉及力学系统运动情况的约束, 即即对速度也有对速度也有限制的限制的, 则称为则称为运动约束运动约束, 约束约束中显含速度中显含速度. 022ijjirrr例如例如: 半径为半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零这意味着着地点的速度为零.00Rx运动约束亦称为运动约束亦称为微分约束微分约束或或速度速度约束约束 几何约束的约束方程虽然不显含速度项几何约束的约束方程虽然不显含速度项, 但实际上它但实际上它在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制, 事实事

11、实上上, 由式由式(5.1)对时间求全导数对时间求全导数, 得得(5.3) 0dddddd31tftzzftyyftxxfiiiiniii 有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑动地滚动的约束方程很容易积分为圆柱无滑动地滚动的约束方程很容易积分为CRx0化成几何约束的约束方程化成几何约束的约束方程. 可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别, 合称为合称为完整约束完整约束. 不可积的运动约束不可积的运动约束, 即不能化为几何约即不能化为几何约束的运动约束束的运动约束, 它们在物理实质上