北京航空航天大学线性代数第六章6-3-惯性定理

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1、线性代数朱立永朱立永北京航空航天大学 数学与系统科学学院答疑时间：星期二晚上18:0020:30 星期四晚上18:0020:30答疑地点：J4-102Email: 线性代数6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 化二次型为标准形 6.3 惯性定理6.4 正定二次型和正定矩阵第六章第六章 二次型二次型 线性代数6.3.1 实二次型的规范形及唯一性实二次型的规范形及唯一性 6.3 6.3 惯性定理惯性定理对于实二次型,其标准形除平方项排列顺序外是唯一确定的在用可逆线性变换化二次型为标准形时,情况就不一样了.线性代数， ， 例如对于二次型321321100111311yyyxxx1 22 31 3262

2、,fxxx xxx经可逆线性变换可化为标准形222123123,226.g y yyyyy线性代数， ， 若用可逆线性变换又可化为标准形3213213100312111211zzzxxx2221321212,zzzzzh.3223zf线性代数， ， 1.二次型的标准形不是唯一的,它与所作的可逆线性变换有关.2.尽管g与h不同,但它们的系数非零的项数是相同的,系数为正的项数也是相同的.下面将会看到,这并不是巧合.由上例可以看出：由上例可以看出：线性代数， ， 设2222211nnydydyd(6.3.1) 其中,),(1nxxf是一个实二次型,由定理6.2.1可知, f必可由可逆线性变换化为只含

3、平方项的标准形., 2 , 1,niRdi线性代数， ， 相应地,二次型ndddB21由于合同的矩阵具有相同的秩,而f的矩阵 A经过合同变换化为对角形B的秩就 是主对角线上非零元的个数,故标准形中系数非零的平方项个数是确定的,即 R(A).线性代数， ， 这样,适当排列变元次序后,22221111pppprrd yd ydyd y(6.3.2) 其中,f的标准形(6.3.1)可写为 0(1,2, )idir为正实数, .rn由于在实数域上正数总可开平方,对(6.3.2)继续作下列可逆线性变换 线性代数， ， 则式(6.3.2)变为111222111,1,1,.rrrrrnnyzdyzdyzdy

4、zyz(6.3.3) 线性代数， ， 式(6.3.4)称为实二次型221221rppzzzz(6.3.4) ),(1nxxf的规范形,它完全被r,p这两个数所决定.由于r为 f的秩,故r是完全由 f确定的.那么规范形(6.3.4)中系数为正的平方项个数是否唯一确定呢? 线性代数， ， 定理6.3.1（惯性定理） 任意一个实二次型f经过适当的可逆线性变换必可化为规范形,且规范形是唯一的.线性代数 证 定理的前一个论断已由式(6.3.2)、 (6.3.3)、 (6.3.4) 证明,只需证明规范形的唯一性即可.由于规范形中的数r是确定的,实际上只要证明规范形式(6.3.4)中的数p是唯一的即可. 设