惯性导航原理

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1、iiiizyOxeeezyOxeweOziOzeeyOxtttzyOxnnnzyOxnztznxtxnyty pppzyOxbbbzyOx四元数：描述刚体角运动的数学工具四元数：描述刚体角运动的数学工具 ( (quaternions)针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。 四元数的表示四元数的表示由一个实单位和三个虚数单位由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数组成的数 kPjPiPq3211或者省略或者省略 1，写成，写成kPjPiPq321i, j, k 服从如下运算公式：服从如下运算公式： i, j,

2、k 服从如下运算公式服从如下运算公式 1kkjjiikijjiijkkjjkiikkPjPiPq321 称作标量部分，称作标量部分， kPjPiP321称作矢量部分称作矢量部分 四元数的另一种表示法四元数的另一种表示法 Pq,P 泛指矢量部分泛指矢量部分提示：四元数与刚体转动的关系提示：四元数与刚体转动的关系kPjPiPq321kjivM3211四元数加减法四元数加减法 MqkPjPiPv)()()()(332211或简单表示为或简单表示为 PvMq,2四元数乘法四元数乘法 )(321321kjivkPjPiPMq)(332211PPPviPPvP)(233211jPPvP)(311322kP

3、PvP)(122133或简单表示为或简单表示为 PvPPvMq 关于相乘符号关于相乘符号 关于交换律和结合律关于交换律和结合律3共轭四元数共轭四元数 仅向量部分符号相反的两个四元数仅向量部分符号相反的两个四元数 ),(Pq和和 ),(*Pq互为共轭互为共轭 可证明：可证明： *)*(qhqh4四元数的范数四元数的范数 q定义定义 2322212*PPPqqq1q则称为规范化四元数则称为规范化四元数 5逆四元数逆四元数 qq11qq*当当 1q时时 *1qq6四元数的除法四元数的除法 若若 Mqh 则则 1 Mhq若若 Mhq 则则 Mhq1不能表示为不能表示为 hMq （含义不确切含义不确切

4、）一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转，一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转， 转角为转角为， 转轴转轴 n n 与参考系各轴间的方向余弦值为与参考系各轴间的方向余弦值为cos、cos、cos。 则表示该旋转的四元数可以写为则表示该旋转的四元数可以写为 nkjiq2sin2coscos2sincos2sincos2sin2cos为特征四元数为特征四元数 （范数为范数为 1 ）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）如果矢量如果矢量 R 相对固定坐标系旋转相对固定坐标系旋转，旋转四元数为，旋转四元数为 q，转动后，转动后的矢量为的矢

5、量为 R， 则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现1 qRqR含义：矢量含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由转角和转轴由 q 决定决定如果如果坐标系坐标系 OXYZ 发生发生 q 旋转，得到新坐标系旋转，得到新坐标系 OXYZ 一个相对原始坐标系一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量不发生旋转变换的矢量 V zkyjxiV矢量矢量 V 在新坐标系上在新坐标系上 OXYZ 的投影为的投影为 kzjyixV则不变矢量则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：在两个坐标系上的投影之间存在如下关系

6、： qVqVee1式中式中 zkyjxiVekzjyixVe分别称为矢量分别称为矢量 V 在坐标系在坐标系 OXYZ 和和 OXYZ 上的映像上的映像zkyjxiV kzjyixVkzjyixVezkyjxiVeqVqVee1将该投影变换式展开，也就是把将该投影变换式展开，也就是把kzjyixVezkyjxiVekPjPiPq321kPjPiPq3211代入上述投影变换式代入上述投影变换式kzjyix)(321kPjPiP)(zkyjxi)(321kPjPiP进行四元数乘法运算，整理运算结果可得进行四元数乘法运算，整理运算结果可得zyxCzyx其中方向余弦矩阵其中方向余弦矩阵 C2221232

7、13223113223212223212313212322212)( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)( 2PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP多次旋转多次旋转的合成的合成对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果，的关系等效于一个一次转动的效果， 相应地有合成转动四元数相应地有合成转动四元数 假定假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数分别是第一次转动、第二次转动的四元数 q 是合成转动的四元数，是合成转动的四元数，那么有如下关系成立：那么有如下关系成立： 21

8、qqq上式中上式中 q1 和和 q2 的转轴方向必须以映象的形式给出。的转轴方向必须以映象的形式给出。 如果如果 q1 和和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有 12qqq用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。 坐标系坐标系 OXYZ 相对相对OXYZ 三次旋转，以三次旋转，以欧拉角欧拉角 、的的形式给出。形式给出。 第一转，绕第一转，绕 Z 轴转轴转角，瞬时转轴角，瞬时转轴 n 和和 k 轴重合，则转动四元轴重合，则转动四元数为数为 kq2sin2cos1第二转，绕第二转

9、，绕 OX1 轴转轴转角，角，瞬时转轴瞬时转轴 n 的方向表示式为的方向表示式为 )sin(cosji其转动四元数为其转动四元数为 nq2sin2cos2)sin(cos2sin2cosji由于由于 q1 和和 q2 的瞬时转轴的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来都是以同一个坐标系的方向余弦来表示，则合成转动四元数表示，则合成转动四元数 q 的计算采用：的计算采用：12qqqkji2sin2cos)sin(cos2sin2coskji2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos以瞬时转轴以瞬时转轴映象映象形式给出形式给出转动四元数的表达式并求转动四元数的表达式并求出合成

10、转动四元数出合成转动四元数 第一次转时，映象形式的第一次转时，映象形式的 q1 和非映象形式的和非映象形式的 q1 是是一致的：一致的： kq2sin2cos1第二转绕第二转绕 OX1 轴转轴转 角角瞬时转轴瞬时转轴 n 是由是由 OX 经过经过第一转转换来的第一转转换来的OX 轴对应单位矢量轴对应单位矢量 i，所，所以定义以定义 n 的映象为的映象为 i则则 q2 的映象表示式为的映象表示式为 iq2sin2cos2第三转，绕第三转，绕 OZ 轴转动轴转动 角角瞬时转轴瞬时转轴 n 是由是由 OZ 经过经过第一转和第二转转换来的第一转和第二转转换来的OZ 轴对应单位矢量轴对应单位矢量 k，所

11、以定义所以定义 n 的映象为的映象为 k则则 q3 的映象表示式为的映象表示式为kq2sin2cos3由于由于 q1 、q2 和和 q3 都是映象形式都是映象形式 ，所以三次转动的合成转动所以三次转动的合成转动四元数四元数 q 为为321qqqqkik2sin2cos2sin2cos2sin2cosji2sin2sin2cos2sin2cos2cosk2sin2cos据此可算出对应的方向余弦表据此可算出对应的方向余弦表 坐标系旋转时，不变矢量坐标系旋转时，不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：如下关系： qVqVee1在一些资料中，四元数的转动公式也经