数学物理方法-6 保角映射

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1、保角映射保角映射1 保角映射的概念2分式线性映射 (应用广泛的一种保角映射)保角映射以函数的导数、解析性为基础；它在流体力学、电磁学等诸多领域有应用广泛。 一：导数的几何意义一：导数的几何意义 z 平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t)， atb表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向，z(t)为连续函数。 如果z(t0)0,at00对单位圆内部边界|w|0保角映射成单位圆|w|1，并且：（1）把点z=i映射成w=0；（2）从点z=i出发平行于正实轴的方向，对应着从点w=0出发的虚轴正向。解：由条件（1）, 设,iziwezi所以由保角性和条件（2），得,22.iziziwezizi ()

2、22()()1( ),2iiz iziziw ieezi则因为3.把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射x1(z)OOu(w)1aa1(1)0za aw1za关于单位圆对称点关于单位圆对称点w 保对称点性.111为常数，其中kzaazkzaazaacazazacw| 1,1,111|11zwzwaakkkaa =1取则e (ik为实数）e,(1)1izawaz为实数， a注意: 的确定还要另加条件。, 034)211 ()21(21)211 ()21(212iziezzzef，为整数)(2kk于是所求的分式线性映射为.21221121zzzzw例3 试求一分式线性映射w=f(z)，它把单位圆内部|z|1映射成单位圆内部|w|0 。解：设所求的映射为),(21121)(为实数zzezfwi