第五章(典型环节的频率特性)

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1、第五章第五章 线性系统的频域分析线性系统的频域分析5.1 频率特性的概念5.2典型环节的频率特性5.4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性5.3系统的开环频率特性5.5 利用开环频率特性分析系统性能5.6 利用闭环频率特性分析系统性能本章重点 开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)； 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 开环频率特性指标； 闭环频率特性指标。本章难点 开环频率特性的绘制； 乃奎斯特判据的原理及其应用； 剪切频率及相角、幅值裕度的求取； 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算； 典型二型系统频、时域指标的定性关系。时域方法准确、直

2、观。但用解析法求解系统的时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。时域响应不易。正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。特性。是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。5.1频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设

3、系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。AB相角问题相角问题 稳态输出稳态输出迟后于迟后于输入的输入的角度为：角度为：该角度与该角度与有有BA360o=AB该角度与初始该角度与初始关系关系 为为(),角度无关角度无关 , 在在正弦输入信号正弦输入信号的作

4、用下，系统输出的的作用下，系统输出的稳态分量稳态分量与输入量与输入量复数之比称为复数之比称为频率响应频率响应。 人们发现频率特性虽然是一种稳态特性，但它既反映系统的稳态性能，还可以研究系统的暂态性能。问题：为什么人们如此重视频率特性的分析呢？)()()(1sRsGLtc输出（稳定后）输出（稳定后）c(t)=Cm Sin（ t+ ）系统系统 输入输入r(t)=X Sinr(t)=X Sin t t 本章涉及数学基础：傅里叶变换本章涉及数学基础：傅里叶变换111111)()(12sRCsCsRCssUsU例：如图所示电气网络的传递函数为例：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：若输入为正弦

5、信号：tUumsin11其拉氏变换为：其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm一、频率特性的定义一、频率特性的定义其稳态响应为：其稳态响应为：)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj上式表明：上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为输入为XeXej0 j0，输出为，输出为Ye

6、Yej j，则输出输入之复数比为：，则输出输入之复数比为：)(0)(jjjjeAeXYXeYe)(A幅值频率特性幅值频率特性)(相角频率特性相角频率特性01jmeUjjmejU11111频率特性的定义：频率特性的定义：线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。数比。例题中输入信号的复数表示为：例题中输入信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：它们之比为：它们之比为：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jA

7、tanarg11)(j010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A)(2112345幅频特性和相频特性数据jjG11)(频率特性频率特性G(j)也可以表示成实部和虚部的复数形式。也可以表示成实部和虚部的复数形式。)()()(jQPjG)(cos)()(AP)(sin)()(AQ22)()()(QPA)()(arctan)(PQ二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数的关系线性定常系统的传递函数表达式为线性定常系统的传递函数表达式为)()()()()()()()(21npsps

8、pssNsDsNsRsCsG输入为输入为r(t)=Msin(t)，22)(sMsR2221)()()()(sMpspspssNsCn若无重极点，上式可写为若无重极点，上式可写为niiipsajsbjsbsC121)(tpniijjieaebebtc121)(若系统稳定，若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：都具有负实部，则稳态分量为：jjtebebtc21)(limjMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(1jMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(2G(j)G(j)是一复数，可写为是一复数，可写为)()()(jeAjG)()()(jeAjG)(1)(2jeAjMb)(2

9、)(2jeAjMb jeeMAebebtctjtjtjtjss2)()()()(21)(sin)(tMA得到线性系统的幅频特性和相频特性：得到线性系统的幅频特性和相频特性：)()(jG)()(jGA频率特性和传递函数的关系为频率特性和传递函数的关系为jssGjG)()(系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。)()()(jRjCjGdtetrjRtj)()(dtetcjCtj)()(dejRjGtctj)()(21)(系统的单位脉冲响应为：系统的单位脉冲响应为：其中其中经过傅氏反变换经过傅氏反变换dejGtgtj)(21)(频率特性频率特性三要素：三要素： 频率：频率：

10、不变不变 幅值：幅值： M Cm 关系为：关系为： 幅角：幅角： 0 关系为：关系为：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性频率特性。幅频特性幅频特性相频特性相频特性jSmsGAXC)()(输入输入r(t)=M Sin（ t+ 0）通常令通常令 0=0稳定后输出稳定后输出C(t)=CmSin（ t+ ）jS| ) s (G0)()(X)()A(jGCjGm可见：线性系统总结：总结：频率特性可以分成：频率特性可以分成： sin)(cos)()()()(jAAjGeAj幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性ejAjG)()

11、()()()()(1sRsGLtcj三、频率特性的几种图示方法三、频率特性的几种图示方法1. 1. 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图，又称Nyquist曲线。系统的频率特性可表示为：系统的频率特性可表示为：)()()(jeAjG对某一固定频率对某一固定频率 1 1)(111)()(jeAjG在极坐标系中画出该向量。在极坐标系中画出该向量。 从从-+-+变换时该向量在极坐标系中形成变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为的曲线，称为NyquistNyquist曲线曲线。实频特性是实频特性是 的偶函数，虚频特性是的偶函数，虚频特性是 的奇函数。为