第四章 持续期与凸性

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1、第四章 持续期与凸性 债券风险中，价格风险是非常重要的内容。 衡量价格风险的主要指标是持续期和凸性 持续期可以衡量收益率曲线水平与非水平变动下，债券价格的变化。 凸性可以弥被持续期不足，更精确地衡量债券价格风险。 这两个指标可以广泛地应用在组合免疫和避险上。第一节 影响债券价格利率敏感性的因素 一、利率与债券价格关系 债券价格与市场利率相反关系，利率越高，债券价格越低，利率越低，债券价格越高。如下图所示：到期收益率价格P2P1y2y101(1)(1)nttnttnCFPyy 二、基点价值与价格波动的收益率价值 为分析债券价格与到期收益率之间的关系，人们建立了基点价值与价格波动收益率价值两个概念

2、。 1. 基点价值。指到期收益率变动一个基点所对应的债券价格变化额。 一个基点是0.01% 例：一个债券期限为5年，票面利率为9%，半年支付一次息，价格为100元，求该债券的基点价值。 2. 价格波动收益率。指债券价格发生一定金额变化（在美国一般指一美元的1/32）所对应的到收期收益率变化幅度。 例：一个债券期限为5年，票面利率为9%，半年支付一次息，价格为100元，求该债券价格波动的收益率价值。101014.510099.9604(14.505%)1.4505ttP1010114.510010032(1/2)(1/2)ttyy99.96040.0396基点价值:100-8.992%y 8.9

3、92%0.008%价格波动的收益率价值: 9- 三、影响价格利率敏感性的主要因素 1. 偿还期：假定其它因素不变，偿还期越长，价格利率敏感性越大，但随着偿还期的延长，敏感性增大的速度下降。 2.票面利率：假定其它因素不变，票面利率越低，价格利率敏感性越大。 3. 市场利率。假定其它因素不变，市场利率越低，价格利率敏感性越大。但市场利率同样幅度的上升与下降，引起债券价格波动幅度却是不相同的。利率下降引起债券价格上升的幅度，要高于同样幅度的利率上升引起的债券价格下降的幅度。第二节 持续期duration 一、金额持续期 （一）定义与数学解释 、 金额持续期是指市场利率发生1个百分数的变化，债券价格

4、变化的金额。 下面是持续期公式的推导过程： 1. 如果到期收益率曲线呈水平状，那么债券价格1(1)ntttCPy 如果到期收益率发生微小变化，债券价格变化为： 2. 如果到期收益率曲线不是水平状，债券价格为：1111(1)1(1)nntttttttCtCdPdydyyyy 1ntttPC d1(1)nttttCPy 如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数： 如果到期收益率曲线是水平移动的，即各期收益率都波动dy，那么：11(1)nttttttCdPdyy 11(1)ntttttCdPdyy 3. 把1/(1+y)当作一个共同因子，从上式提取出来。这不是一个严格的数

5、学推导，而是求取债券价格变化的近似等式。11111(1)1(1)1()1nnttttttttntttCtCdPdydyyyytV Cdyy ()(1)tttttCV Cy 4. 我们可以用金额持续期来反映市场利率变化一个百分点引起的债券价格变化数额： 5. 由11()(1)nntdollartttttCt V Cy11()1nttdPtV Cdyy 11()1nttPtV Cyy 得： PS：为了与债券价格计算公式相匹配，债券的金额持续期的计算更应该为： 注意：上式中的dt不是积分，而是折现因子。11Pyy 金额111()(1)nnntdollarttttttttCt V Ct Cdy 二、持

6、续期几何解释 对于价格-到期收益率曲线，当利率由y1下降到y2时，债券价格由P1升到P2，用持续到期收益率价格y1y2P1P2P2期计算，则为P2。当市场利率变化不大时，两者相差不大，当市场利率变化较大时，两者相差会较大。例：计算金额持续期：8年债券, 面值100, 票面利率10%, 1年支付一次。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.5056%0.9569109.579.5724.6753%0.9127109.1318.2534.8377%0.8679108.6826.0444.9927%0.8229108.2332.9255.1404%0.7783107.7838.9265.

7、2807%0.7344107.3444.0675.4136%0.6914106.9148.4085.5391%0.649711071.47571.74价值129.11789.89金额持续期7.9 如果半年付款一次，注意利率的变化。 例：一个期限2面值100利率6%债券，一年付息两次，到期收益率如表所示。计算金额持续期。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.4181%0.978432.942.9424.5056%0.956432.875.7434.5914%0.934232.80804144.6753%0.911710393.91375.62价值102.51392.70金额持续期3

8、.92注意：第一期和第二期折现因子是这样得来的10.978414.4181% 210.956414.5056% 2 一年支付两次的金额持续期1(1/2)ntttCPy11112(1/2)1/2(1/2)nntttttttCtCdPdydyyyy 11()2(1/2)2ntttttCdytV C dyy 金额 二、比率持续期 利率波动一个百分点对债券价格波动幅度所造成的影响，需要建立债券价格波动率这一指标，这一指标可用比率持续期来表示。由于： 定义11111111PyPyyPyyP 金额金额P 金额 例：上例中，债券的金额持续期为3.92，债券的价格为102.51，则其比率持续期为： 3.92/

9、102.51=3.82% 即到期收益率曲线移动一个百分点，债券价格将发生3.82%的波动。 三、修正持续期 修正持续期是在比率持续期的基础上考虑短期利率的影响。定义为： 如果半年支付一次利息，则1MDy1/ 2MDy 例：一个债券的金额持续期为15.5，债券的价格为144.46，1年期利率为4.5056%，其修正持续期为： 先计算比率持续期： 然后计算修正持续期：15.510.73%144.46 10.73%10.27%14.5056%MD 四、有效持续期 有效持续期的定义为： 其中，P-为到期收益率下降y时债券价格 P+为到期收益率上升 y 时债券价格 P为债券目前价格 y 为到期收益率波动

10、的基点。2effectivePPPPyyDPy P 例：一个20年期债券，票面利率9%，一年支付一次利息，债券非含权。债券价格为150，到期收益率为6%。到期收益率分别上升和下降20基点时，债券价格分别为145和156。该债券的有效持续期。156 14518.33%2 0.2 150effectiveD 五、组合的持续期 （一）组合的金额持续期 当得到各种债券金额的持续期后，可以用下面的方法求得一个组合的金额持续期 Ni为第i种证券投资数量，i持续期为第i种证券金额持续期iiN组合金额金额 （二）组合的比率持续期 当得到各种债券比率持续期后，可以用下面的方法求得一个组合的比率持续期 i为第i种

11、证券投资比重，i为第i种证券比率持续期ii组合当堂作业1 1. 有一个10年期付息票债券，面值1000元，票面利率为10%，一年付息一次，到到期收益率如下：求其金额持续期。期限12345利率%4.54.64.84.95.1期限678910利率%5.25.45.55.65.7期限到期收益率折现因子现金折现t倍折现10.0450.95693810095.6937895.6937820.0460.9139810091.39799182.79630.0480.86879310086.87927260.637840.0490.82584410082.58441330.337650.0510.779806