Lebesgue积分在Riemann积分中的若干应用.doc

Lebesgue积分在R i emann积分中的若干应用
摘要本文对勒贝格积分进行详细研究，重点论证了(1)勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性(2)勒贝格可 积函数的范围比黎曼积分广泛(3)在勒贝格积分意义下，积分与极限交换顺序的条件比较弱。
关键词勒贝格，黎曼积分，区别，应用
—\预备知识
定义1设/■是定义在[a,b]±.的一个函数，J是一个确定的实数，若对任给的正数 £,总存在某一正数5,使得对[a,可的任何分割T,以及在其上任意选取的点集 {§},只要|F||V3,就有
Z=1
则称函数/在区间[a,句上可积或黎曼可积，数J称为/■在[a,句上的定积分或黎曼 积分，记作
J = [ f(x)dx
J a
定义2设fwM+(E),则称
皿顷诳办
为f (工)在E上的勒贝格积分，记做£[/(%)]必:或(L)j^ f(x)dx
引理 1 设 f g ,则 f e£[a,Z?],且
rb pb
(R)C /(.x)4Zx = (L)f 了(x)dx J a J a 引理2令E = {x|x为f在[a,句的间断点}设f ^B[a,b],则f ^R[a,b]的充分必要条 件是
m(E) — 0
二、勒贝格积分在黎曼积分中的应用
勒贝格积分在黎曼积分中的应用主要由可积性上体现出来，试看下列几个例子
例 1 / e C[a,b\,则 f ^R[a,b] □
证 由 f e C[a,Z>] / e
且 E = O 则有 m(E) = 0 即 f^R[a,b].
注：此例证法较分析上册的定理9.4中运用了一致连续保证所有小区间上的振幅 叫一致地小于S，一致连续性的知识，对比此种解法显得较为繁冗。而此题运用/ 连续直接推出/■是区间[a,b]±的有界函数，那么反之如何且看下面的例2
例 2 若 f ^B[a,b], card(E) = n0 ,则 f ^R[a,b] □
证：因 card(E)=n0 , f ^B[a,b]则 m(E) = 0 又 f ^B[a,b]则有 f ^R[a,b]
注：较分析上册9.5中的证明只证明了 f在[a,可上仅有一个间断点的情形，即该 间断点为端点人，运用了若在分割T中存在有限个小区间的振幅大于等于g,这样 小区间长度总和一定可以任意小的知识，对比上面的解法同样显得繁冗且并不严 谨。那么从单调的角度看例3 例3若/•是区间[a,句上的单调函数，贝〃在[a,可上可积。 证：不妨设/■单调递增，设a<x<b有/•(o)<y(x) <y(。)，则f^B[a,b],易知此 处 card(E) < p ,则有 m(E) = O ,由 L 积分可知 f e R(a,b)。
注：此处仍然体现了勒贝格积分在黎曼积分中的应用，通过间断点至多小于无穷来 证明f可积，分析上册定理9. 6中运用可积的充要条件体现了单调函数即使有无限 多个间断点，仍不失其可积性。
例4 设 f 气 R(a,b) , geR(a,b) f + g, f - g, f x g R[a,b]
证：|/(x)xg(x)| <|/(A-)|x|g(x)| xM2
0 < m{E{ E2) < + m(E2)
由题意可知 m(q)= 0且m(E2) = O则 E2)=。即 fxg^R[a,b]
同理可知 f-g^R[