空间向量讲义(非常好用)学习资料.docx

间向量讲义（非常好
用）
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向量的数量积和坐标运算
a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab,即ab|a||b|cos.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：
若a(Xi,yi,Zi),b(X2)y2.Z2),则
①abX1X2y〔y2z〔Z2；
222222
②|a|vxiyZi,|b|gV2A；
X1X2y1y2Z1Z2
④cosa,b
③abx1x2y1y2z1z2
222222
1丫1ZiX2丫2Z2
异面直线m,n所成的角
分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角等于向量a,b所成的角或其补角
（如图1所示），贝^cos
|ab|
|a||b|
1.3.异面直线m、n的距离
分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的
向量n,分别在m、n上各取一个定点A、B,则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影
长，即d1ABn1|nI
直线L与平面所成的角
IABnI一.
在L上取定AB,求平面的法向量n（如图2所小），再求cos'一—，则
IAB||n|
一为所求的角.
2
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15二面角
方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向量
耳、n2（都取向上的方向，如图3所示），则
①若二面角i是“钝角型”的如留甲所示，那么其大
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小等于两法向量Q、”的夹角的补角，即cos
n1n2
ir
Ini||1|
（例如2004年高考数学
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广东卷第18题第（1）问）.
②若二面角l是“锐角型”的如图乙所示，那么其
大小等于两法向量n1、n2的夹角，即cos-n1nL.
|ni||叫|
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方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、
B,过A、B分别在平面、内求出与l垂
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直的向量n_,、n2（如图4所示），则二面角l
向量必、n2的夹角，即cos
In1IIn2I
1.6.平面外一点p到平面的距离
的大小等于
先求出平面的法向量n,在平面内任取一定点A,则点p到平
面的距离d等于AP在n上的射影长，即d
InI
练****br/>1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，BQ和GD与底面所成的角分别为
60°和45°,则异面直线
BC和C1D所成角的余弦值为
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2.如图，正四棱柱ABCD
A1B1clD1中,
AAi2AB,则异面直线AB与
ADi所成角的余弦值为（
B.2
5
C.3
5
D.4
5
Di
C
B
E/D¥
A
Ci
3.,在四面体S-ABC中,
E、F、G
MN分别是棱SABCARSCACSB的中点,
且EF=GH=MN,求证：SABC,SB
AC,SCAB.
C
4.如图2,正三棱柱ABCAB1C1的底面边长为a,侧棱长为近a,求AC1与侧面ABB〔A所成
的角.
4,
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.如图3,直三棱柱ABCAB1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°,侧棱
AA2,D,E分别是CCi与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是
△ABD的重心G,求点Ai到平面AED的距离.
.已知正方体ABCDAB1CiDi的棱长为2,P,Q分别是BC,CD上的动点，且|PQ/2,确