七年级数学竞赛讲座数论的方法与技巧(含答案详解).docx

七年级数学比赛讲座数论的方法与技巧(含答案详解)
七年级数学比赛讲座数论的方法与技巧(含答案详解)
七年级数学比赛讲座数论的方法与技巧(含答案详解)
数学比赛讲座
数论的方法技巧 ( 上)
数论是研究整数性质的一个数学分支 , 它历史悠长 , 并且有着强盛的生命力。数论问题表达简洁 , “好多半论问题能够从经验中概括出来 , 并且仅用片言只语就能向一个行外人解说清楚 , 但要证明它却远非易事”。因此有人说 : “用以发现天才 , 在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生 , 如能把此刻任何一本数论教材中的****题做出 , 就应该遇到鼓舞 , 并劝他未来从事数学方面的工作。 ”所以在国内外各级各种的数学比赛中 , 数论问题老是据有相当大的比重。
小学数学比赛中的数论问题 , 经常波及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有 :
带余除法 : 若 a,b 是两个整数 ,b>0, 则存在两个整数 q,r, 使
得 abq+r(0 ≤r<b), 且 q,r 是独一的。
特别地 , 假如 r0, 那么 abq。这时,a 被 b 整除 , 记作 b|a, 也称 b
是 a 的约数 ,a 是 b 的倍数。
若 a|c,b|c, 且 a,b 互质 , 则 ab|c 。
独一分解定理 : 每一个大于 1 的自然数 n 都能够写成质数的连乘积,即
此中 p1<p2< <pk 为质数 ,a1,a2, ,ak 为自然数 , 并且这类表示是独一的。 (1) 式称为 n 的质因数分解或标准分解。
约数个数定理 : 设 n 的标准分解式为 (1), 则它的正约数个数
为:
d(n)(a1+1)(a2+1) (ak+1) 。
整数集的失散性 :n 与 n+1 之间不再有其余整数。所以 , 不等式 x<y 与 x≤y-1 是等价的。
下边, 我们将按解数论题的方法技巧来分类解说。
一、利用整数的各样表示法
关于某些研究整数自己的特征的问题 , 若能合理地选择整数的
表示形式 , 则经常有助于问题的解决。这些常用的形式有 :
十进制表示形式 :nan10n+an-110n-1+ +a0;
带余形式 :abq+r;
4.2 的乘方与奇数之积式 :n2mt, 此中 t 为奇数。
例 1 红、黄、白和蓝色卡片各 1 张, 每张上写有 1 个数字 , 小明将这 4 张卡片以以下图搁置 , 使它们构成 1 个四位数 , 并计算这个四位数与它的各位数字之和的 10 倍的差。结果小明发现 , 不论白色卡片上是什么数字 , 计算结果都是 1998。问 : 红、黄、蓝 3 张卡片上各是什么数字 ?
解: 设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a3,a2,a1,a0, 则
这个四位数能够写成 :1000a3+100a2+10a1+a0,它的各位数字之和的
10 倍是 10(a3+a2+a1+a0)10a3+10a2+10a1+10a0,这个四位数与它的
各 位 数 字 之 和 的 10 倍 的 差
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是:990a3+90a2-9a01998,110a3+10a2-a0222 。
比较上式等号两边个位、十位和百位 , 可得 a08,a21,a32 。所以红色卡片上是 2, 黄色卡片上是 1, 蓝色卡片上是 8。
例 2 在一种室内游戏中 , 魔术师请一个人任意想一个三位数
a,b,c 挨次是这个数的百位、十位、个位数字 , 并请这个人算出 5 个
数与的和 N,把 N 告诉魔术师 , 于是魔术师就能够说出这个人所想的
数。此刻设 N3194,请你当魔术师 , 求出数来。
解:依题意,得
a+b+c>14,
说明 : 求解本题所用的基本知识是 , 正整数的十进制表示法和
最简单的不定方程。
例 3 从自然数 1,2,3, ,1000 中, 最多可拿出多少个数使得所拿出的数中任意三个数之和能被 18 整除 ?
解 : 设 a,b,c,d 是 所 取 出 的