双变量回归的进一步讨论.ppt

第二章 双变量回归的进一步讨论
教师：卢时光
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1. 正态性假设
1.1 为什么要对干扰ui的概率分布作出正态性假设？
在上一章的分析中，我们并没有对干扰ui的概率分布作出任何假设。我们对ui的描述是：它们的期望值为0，它们是不相关的，并且有着一个不变的方差。
有了这些假设，我们看到最小二乘（OLS）估计量 有着非常好的统计性质，例如它们是无偏估计的，最小方差。
如果我们的目的仅仅是做点估计，则上述假定就足够好了，但是点估计只是统计推断的一个方面，另一方面则是假设检验。
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我们的目标并不仅仅是得到 ，而是要利用它对其真值 作出论断。更一般的来说，我们的目的不仅是要得到样本回归函数（SRF），而是要用它来推测总体回归函数（PRF）。
那么，我们为什么必须对干扰项ui的概率分布进行进一步的假定呢？事实上，我们在前面的分析中已经强调过，最小二乘（OLS）估计量 都是ui的线性函数，因此最小二乘（OLS）估计量 的概率分布是依赖于ui的概率分布的。
在回归分析中，人们常常愿意假设ui是遵循正态分布的，这种假设是有理由的，我们稍后来证明。
我们把假定了干扰ui符合正态分布的模型称为双变量经典正态线性回归模型（CNLRM）。
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1.2 正态性假设
经典正态线性回归假定每个ui都是正态分布的，且：
顺便指出，对两个正态分布变量来说，零协方差或零相关就意味着这两个变量是互相独立的。
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ui符合正态分布的解释：
1. ui代表了回归模型中未作为自变量引入的，而对因变量产生影响的其他因素的总和。我们希望这些被忽略的变量的影响是微小的，而且充其量是随机的。利用中心极限定理可以证明，如果存在大量的独立且同分布的随机变量，随着这些变量的数量的无限增大，它们的总和将趋于正态分布。
中心极限定理也说明，即便变量的个数是有限的，且不是严格独立的，它们的总和也可以看做是服从正态分布的。
正态分布的一个基本性质是：正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的。这样最小二乘估计量 也都是正态分布的。
最后，正态分布是一种简单的，我们熟知的分布。
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1.3 在正态性假设下OLS估计量的性质
在正态性假设下，OLS估计量 有如下统计性质：
1. 它们是无偏的。
2. 它们有最小方差。
3. 一致性。随样本含量无限地增大，估计量将收敛到它们的真值。
4. 是正态分布的。
5. 服从n-2个自由度的 分布。
6. 的分布独立于 。
7. 是最优无偏估计量（BLUE）。
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是正态分布的
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1.3 与正态分布有关的一些概率分布
t分布、CHI分布和F分布与正态分布有着密切关系，在统计推断中被大量的使用。以下以定理的形式将其关系概括，证明请参阅相关文献。
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2.区间估计和假设检验
2.1 区间估计
回到上一章我们的例子中，我们在最后求得边际消费倾向β2的估计值 为0.5091，这是对β2的一个点估计值。虽然大量重复抽样的结果使得估计值的均值可望等于真值（E( )= β2 )，但单独一次抽样的结果可能是相背离的。
统计学上，一个点估计的可靠性是有它的标准误来衡量的。我们不能完全信赖一个点，而需要构造一个区间，比如在点估计量的两侧各宽2或3个标准误，使得它有95% 的可能性包含真实的β2 。
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