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1、河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology频率响应分析绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性率特性(j)与开环频率特性与开环频率特性G(j)，分别对应于系统，分别对应于系统的闭环传递函数的闭环传递函数(s)与开环传递函数与开环传递函数G(s)。由于系统的。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在开环传递函数较易获取
2、，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。系统的开环频率特性。3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology3 绘制Nyquist图绘制准确的开环幅相频率特性图是很麻烦的。因此，在一般绘制准确的开环幅相频率特性图是很麻烦的。因此，在一般情况下，可绘制概略开环幅相特性曲线。情况下，可绘制概略开环幅相特性曲线。当系统开环传递函当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制具有一定的数为多个典型环节
3、组合时，其开环奈氏图的绘制具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用再利用A( )与与 ( )等的表达式描点，在曲线的重要部分修等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。正。下面讲述概略曲线的绘制方法。下面讲述概略曲线的绘制方法。 将传递函数写成若干典型环节串联形式； 根据传递函数写出系统的实频特性、虚频特性和幅频特性、相频特性的表达式；河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology3 绘制Nyquist图 分别求出起始点(=0)和终点(=)，并表示在
4、极坐标上； 找出必要的特征点，如与实轴的交点、与虚轴的交点等，并表示在极坐标上； 补充必要的几点根据已知点和幅频特性和相频特性的变化趋势以及G(j)所处的象限，绘制Nyquist曲线的大致图形。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology121121(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)(1)(1)mimivvkkKsKsssG ss TsT sT ssT s实际的控制系统通常是不含右极点、右零点的最小相位系统，实际的控制系统通常是不含右极点、右零点的最小相位系统，其开环传递函数为：其开环传递函数为：3 绘制Nyquist
5、图 对于由多个典型环节组合而成的系统（对于由多个典型环节组合而成的系统（延迟环节除外延迟环节除外），），其频率特性应该满足下面的规律：其频率特性应该满足下面的规律： niijGjG1)()(niiAA1)()(nii1)()(河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology()()vKGjj()()KvKAGG(j)的低频段表达式的低频段表达式121222112211(1)(21)()()(1)(21)mmikkkiknnvjllljljjKG jjj TTjT 根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段根据向量相乘是幅值
6、相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为幅频特性与相频特性表达式分别为()90 1.1.开环幅相曲线的起始段开环幅相曲线的起始段03 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology1.1.开环幅相曲线的起始段开环幅相曲线的起始段0eRmI0K1v2v3v图图 系统的极坐标图系统的极坐标图vkKGA)()(90)(1.01.0型系统，型系统， v=0v=0：A(0)=KA(0)=K， ( (0)=00)=0 低频特性为实轴上的一点低频特性为实轴上的一点(K,0)(K,0)。2.I2.I型系
7、统，型系统， v=1v=1：A(0)=A(0)=， ( (0)=-900)=-903.3.型系统，型系统，v=2v=2：A(0)=A(0)=， (0)=-180(0)=-180 可见低频段的形状（幅值与相位）可见低频段的形状（幅值与相位）均与系统的型别均与系统的型别v v与开环传递系数与开环传递系数K K有关。有关。3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.2.开环幅相曲线的终止段开环幅相曲线的终止段111111(1)()( )lim ()limlimlim()(1)()()()( )mmmiii
8、iiinnnvn mkjjkjjKjKjTKTG jjj TjjTjT不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。一般一般m mn n ()lim()n mKG jjnjjmiiTTKK11)()(3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology0)(lim)(AA90)()(lim)(mn()lim()kn mKGjj3 绘制Nyquist图A(A( )=0,)=0,故故高频段终止于坐标原点；高频段终止于坐标原点； ( ( )
9、=-()=-(n-n-m)m) 9090 ，由由n-mn-m确定频率特性最终相位以什么角度确定频率特性最终相位以什么角度进入坐标原点。进入坐标原点。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.2.开环幅相曲线的终止段开环幅相曲线的终止段eRmI01n m 2n m 3n m 时的极坐标图( (n n- -m m)=1,)=1,则则 ( ( )=-90)=-90 , , 即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点( (n n- -m m)=2,)=2,则则 ( ( )=-180)=-180 , ,即幅相特性
10、沿负实轴进入坐标原点即幅相特性沿负实轴进入坐标原点( (n n- -m m)=3,)=3,则则 ( ( )=-270)=-270 , ,即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology3.3.与坐标轴的交点与坐标轴的交点3 绘制Nyquist图1)1)曲线与实轴的交点处的频率由虚部为曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0 0求出求出 ImG(jImG(j )=I()=I( )=0,)=0,求出交点处的求出交点处的 ，再代回频率特性表达，再代回频率特性表
11、达式求出交点的坐标式求出交点的坐标2)2)曲线与虚轴的交点处的频率由实部为曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0 0求出求出 ReG(jReG(j )=R()=R( )=0 )=0 求出交点处的求出交点处的 ，再代回频率特性表达，再代回频率特性表达式求出交点的坐标式求出交点的坐标将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology4.4. 开环零点对曲线的影响开环零点对曲线的影响3 绘制Nyquist图1)1) 如果系统的开环传递函数
12、没有开环零点，则在如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在 由由00 过过程中，特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线程中，特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。顺时针方向连续变化最后终于原点。 2)2)如果系统的开环传递函数有开环零点，则在如果系统的开环传递函数有开环零点，则在 由由00 过程中，过程中，特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可
13、能在某一频段范围内呈增加趋势，小不同，特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时，特性曲线出现凹部。此时，特性曲线出现凹部。根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。在在 的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。环传递函数的结构与参数。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例例1
14、 已知系统的开环传递函数，绘制其已知系统的开环传递函数，绘制其Nyquist图图)5)(2)(1(1000)( ssssG100()(1)(1)(1)25G jjjj3 绘制Nyquist图解：由系统开环传递函数可知，系统由一个比例环解：由系统开环传递函数可知，系统由一个比例环节，三个惯性环节串联组成，其频率特性为：节，三个惯性环节串联组成，其频率特性为：100( )11(1)(1)(1)25G ssss河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology3 绘制Nyquist图幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：( )()( )
15、2221001111125G jA=wwwww骣骣鼢珑+鼢珑鼢珑桫桫( )()11arctan25G j =-arctan-arctanj wwwww-根据频率特性公式，求其某些特殊点的值为根据频率特性公式，求其某些特殊点的值为( )( )( )( ) 0010000 0,-270AA当时，；当时，。wjwj= =可见，系统的可见，系统的Nyquist图在低频段始于正实轴上的一个点，图在低频段始于正实轴上的一个点，在高频段由正虚轴趋于原点。下面求特征点的数值。在高频段由正虚轴趋于原点。下面求特征点的数值。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science &
16、 Technologym12e1e2I ()00,17R ()100, R ()8G jG jG j 令得与实轴交点：8 .56)(I2 . 10)(R2 . 1me jGjG与虚轴交点：与虚轴交点：得得令令 =ImRe00100-817 -j56.81.21.2222221000(108)(17)()(1)(4)(25)jG j 根据频率特性公式，求某些特征点：根据频率特性公式，求某些特征点：河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例例2 绘制系统极坐标图。绘制系统极坐标图。解解 此系统此系统=1，n-m=3, G(j0
17、)=(-90) =(-90) ； G(j)=0(n-m)(-90)=0-270； 10()(10.2 )(10.05 )G jjjj3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2222210()(10.2 )(10.05 )()1 (0.2 ) 1 (0.05 ) 2.510(1 0.01)1 (0.2 ) 1 (0.05 ) jjjG jj河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology频率特性频率特性Nyquist图图-110 -0.4
18、0 6 5 ReIm河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例例3：绘制：绘制 的幅相曲线。的幅相曲线。)1s (s)3s)(2s (5) s (G2 解：解：求求交点：交点： )j1(5j)6(5)j (G22 Im ()0G j令0)6(5 ,2 21,1即3 绘制Nyquist图起点：起点：A(0)= , (0)=-(0)=-V V* *9090 =-180=-180 终点：终点：A( )=0 , ( ( )=(n-m)(-90)=(n-m)(-90 )=-9)=-90 0 系统为系统为型系统型系统处。处。与负实轴相
19、交于与负实轴相交于2525) j1()5j5(5)1 j (G 河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology0-25ImG(j)ReG(j)1例例4：绘制：绘制 的幅相曲线。的幅相曲线。)1s (s)3s)(2s (5) s (G2 解：解：222Re()0,650,460.G j令3 绘制Nyquist图无实数解，和虚轴无交点。无实数解，和虚轴无交点。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology通过上面的几个例子可以观察到，传递函数的零极点对通过上面的几个例
20、子可以观察到，传递函数的零极点对Nyquist图的形状影响很大，因此图的形状影响很大，因此，以一个典型的比例以一个典型的比例惯性环节为例，分析增加零极点对乃氏图形状的影响，惯性环节为例，分析增加零极点对乃氏图形状的影响，找出其中隐含的规律。找出其中隐含的规律。3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology增加零极点对极坐标图形状的影响设1)(11sTKsG2211)(TKA2211)(TKP11)(Ttg22111)(TKTQ0)()(0)()(0QKPKA，时当0)(0)(2)(0)(QPA，时当0T1
21、3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology 增加有限极点设)1)(1()(212sTsTKsG22222111)(TTKA)1)(1 ()1 ()(222221221TTTTKP2111)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121TTTTKQ3 绘制Nyquist图河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology 增加有限极点3 绘制Nyquist图0)()(0)()(0QKPKA，时当212121)(10)(TTTTKQTTP
22、，此时，解得令0)(0)()(0)(QPA，时当河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology设)1)(1)(1()(3213sTsTsTKsG223222221111)(TTTKA)1)(1)(1(1)(2232222213231212TTTTTTTTTKP）（312111)(TtgTtgTtg)1)(1)(1()()(2232222213213212TTTTTTTTTKQ0)()(0)()(0QKPKA，时当，此时与虚轴相交；，解得令32312110)(TTTTTTP0)(0)(23)(0)(QPA，时当，此时与实轴相交；和
23、，解得令32132100)(TTTTTTQ河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology结论：假如G(s)增加n个有限负极点(时间常数形式)，则G(j)的极坐标图在=0时幅值不变；在时顺时针转过n/2(弧度)。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology 增加在原点处的极点设) 1()(14sTsKsG2211)(TKA22111)(TKTP1190)(Ttg)1 ()(221TKQ)()(90)()(01QKTPA，时当0)(0)(180)(0)(QPA，时当
24、在取有限值时与坐标轴无交点。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology设) 1()(125sTsKsG22121)(TKA)1 ()(2212TKP11180)(Ttg)1 ()(2211TKTQ)()(180)()(0QPA，时当0)(0)(270)(0)(QPA，时当在取有限值时与坐标轴无交点。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在
25、=0的幅值为无穷大。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology 增加有限零点设) 1)(1()(215sTsTsKsG22222111)(TTKA)1)(1 ()1 ()(222221221TTTTKQ211190)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121TTTTKP)()()(90)()(021QTTKPA，时当212121)(10)(TTTKTPTTQ，交点，解得与实轴交点令0)(0)(270)(0)(QPA，时当211TT2121TTTKT河南科技大学河南科技大学Henan University of Sc
26、ience & Technology设) 1)(1() 1()(215sTsTssTKsGd22222122111)(TTTKAd)1)(1 ()(1 )(22222121212TTTTTTTTKQdd2111190)(TtgTtgTtgd)1)(1 ()()(22222121221TTTTTTTTKPdd)()()(90)()(021QTTTKPAd，时当0)(0)(180)(0)(QPA，时当河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & TechnologyddTTTTTTQ2121210)(，解得与实轴交点令02121ddTTTTTT
27、的条件为：注意与实轴交点有交点21212121)(TTTTTTTTTTdd12121aaTTTT，可令设22222221211111)1 (TTaaaaTaaTaaTTTTT点为时，与实轴有交点，交即满足dTTT21)()(2121dTTTTTKP与没有零点的极坐标图比较知：交点更靠近原点，且当时，极坐标图趋于原点时的相角为180。河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology交点。，则极坐标图与实轴无若2121TTTTTdddTTTTTTP21212)(0)(，解得与虚轴交点另外令交。时极坐标图将与虚轴相即当)(21TTTd河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology
