《概率论》 第六章 数理统计的基本概念

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1、数理统计的研究任务：数理统计的研究任务：怎样有效地搜集、整理和怎样有效地搜集、整理和分析带有随机影响的数据，进而对所考察的问题分析带有随机影响的数据，进而对所考察的问题作出推断或预测作出推断或预测. .数理统计中的两类问题：数理统计中的两类问题：一、试验设计及统计分析：一、试验设计及统计分析：怎样合理地收集到用怎样合理地收集到用于分析的数据，并对取得的数据进行分析；于分析的数据，并对取得的数据进行分析；二、统计推断：二、统计推断：怎样利用所获得的数据对所关心怎样利用所获得的数据对所关心的随机现象作出尽可能可靠的推断或预测，即随的随机现象作出尽可能可靠的推断或预测，即随机现象应服从什么类型的分布

2、及机现象应服从什么类型的分布及所服从分布中的所服从分布中的参数应如何估计参数应如何估计. .第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第一节第一节 总体与样本总体与样本第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念一、总体与个体一、总体与个体总体总体 研究对象的全体所组成的集合研究对象的全体所组成的集合；个体个体 组成总体的每个元素组成总体的每个元素； 实际问题中，人们关心的往往是研究对象的实际问题中，人们关心的往往是研究对象的某个特征指标，因此也常常把某个特征指标，因此也常常把研究对象的某个特研究对象的某个特征指标值的全体称为总体征指标值的全体称为总体，其中每个元素的指标其中每个

3、元素的指标值作为个体值作为个体。有限总体有限总体 包含有限个个体的总体包含有限个个体的总体；无限总体无限总体 包含无限个个体的总体包含无限个个体的总体. 在普查某学校在普查某学校2000名学生名学生的身体素质时的身体素质时, 这些学生的全这些学生的全体就构成一个总体，且是有限体就构成一个总体，且是有限总体，每个学生的就是个体总体，每个学生的就是个体. 例例1 在研究身体素质时，若主要通过学生的在研究身体素质时，若主要通过学生的体体重重指标反映，则此时可把指标反映，则此时可把20002000名学生体重可能名学生体重可能取值的全体看作是总体，而每个学生的体重看取值的全体看作是总体，而每个学生的体重

4、看作是个体作是个体. . 而若身体素质通过学生的而若身体素质通过学生的体重和身高体重和身高两项两项指标反映，则把指标反映，则把20002000名学生体重和身高可能取名学生体重和身高可能取值的二维向量的全体看作是总体，而每个学生值的二维向量的全体看作是总体，而每个学生的体重和身高的二维向量看作是个体的体重和身高的二维向量看作是个体. .例例2 在研究某批零件的抗拉强度时，这批零在研究某批零件的抗拉强度时，这批零件抗拉强度取值的全体组成了一个总体，且件抗拉强度取值的全体组成了一个总体，且也是一个有限总体，而每个零件的抗拉强度也是一个有限总体，而每个零件的抗拉强度则是个体则是个体. .例例3 一个育

5、苗室各处的温度的全体就是总体，一个育苗室各处的温度的全体就是总体，且是无限总体，室内每一处的温度就是个体且是无限总体，室内每一处的温度就是个体. . 1. 例例1中若记学生的身高为中若记学生的身高为 ，则，则 是一个随是一个随机变量机变量。即即可用随机变量可用随机变量 ( (或多维随机变量或多维随机变量) )来来表示总体的某一特征指标表示总体的某一特征指标( (或多个特征指标或多个特征指标).).注注 2.由于实际中往往研究的都是总体的某些特征指标，由于实际中往往研究的都是总体的某些特征指标，所以所以今后都用随机变量今后都用随机变量 （一维或多维）表示总体，（一维或多维）表示总体，即总体就是一

6、个具有确定概率分布的随机变量，从即总体就是一个具有确定概率分布的随机变量，从而可将概率论中的对随机变量的研究方法引入到数而可将概率论中的对随机变量的研究方法引入到数理统计中来理统计中来. . 并称随机变量并称随机变量 的分布函数为的分布函数为总体的分布函数总体的分布函数。当当 为离散型随机变量时，称为离散型随机变量时，称 的分布律为的分布律为总体的总体的分布律分布律；当；当 为连续型随机变量时，称为连续型随机变量时，称 的概率密的概率密度为度为总体的概率密度总体的概率密度. . 二、样本与抽样原则二、样本与抽样原则1. 样本样本 实际中，在对总体进行研究时，一般是从总实际中，在对总体进行研究时

7、，一般是从总体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观测，从而对总体的分布规律作出较为合理的判断测，从而对总体的分布规律作出较为合理的判断或推测或推测. .定义定义 从总体中抽出有限个个体的过程称为从总体中抽出有限个个体的过程称为抽样抽样，被抽出的这些个体称为被抽出的这些个体称为样品样品，所有样品构成了总，所有样品构成了总体的一个体的一个样本样本。样本中所含个体的数目称为。样本中所含个体的数目称为样本样本容量容量. .2. 抽样原则抽样原则 为使抽取的样本能很好地反映总体的特征，为使抽取的样本能很好地反映总体的特征，一般要求抽取样本时遵循以下两点原则：

8、一般要求抽取样本时遵循以下两点原则：(2) 独立性独立性 要求每个样品的抽出相互之间是互不要求每个样品的抽出相互之间是互不影响的，影响的，即要求每个样品之间相互独立即要求每个样品之间相互独立. .满足以上两点要求的样本称为满足以上两点要求的样本称为简单随机样本简单随机样本.(1) 代表性代表性 要求样本中的每个样品都是从总体要求样本中的每个样品都是从总体 中中完全随机地抽出的，完全随机地抽出的，即每个样品与总体即每个样品与总体 具有相同具有相同的分布的分布； 实际中通常有两种抽样方式：实际中通常有两种抽样方式：不重复抽样不重复抽样( (不放回不放回) ) 重复抽样重复抽样( (放回放回) )注

9、注 1.重复抽样所得的样本才是简单随机样本，重复抽样所得的样本才是简单随机样本，今后，本书中提到的样本均指简单随机样本；今后，本书中提到的样本均指简单随机样本；2.在总体个数无限时，抽取有限个样品后不会影响在总体个数无限时，抽取有限个样品后不会影响总体的分布，此时认为两种抽样方式没有区别；总体的分布，此时认为两种抽样方式没有区别；3.实际中，若总体个数较大，而所取样本的容量相实际中，若总体个数较大，而所取样本的容量相对较小，一般不超过总体的对较小，一般不超过总体的10，可认为此时总体可认为此时总体无限，即两种抽样方式没有区别无限，即两种抽样方式没有区别. . (2) 随机变量随机变量 相互独立

10、相互独立.n ,21而对于某次具体抽样之后，得到的一组确定的数而对于某次具体抽样之后，得到的一组确定的数值，则一般记成值，则一般记成 称之为称之为样本观察样本观察值或样本值值或样本值.),(21nxxx其中其中 为第为第i次抽得的样品次抽得的样品. . i 4. 对某总体对某总体 抽得的容量为抽得的容量为n简单随机样本一般简单随机样本一般记作记作n维随机变量维随机变量，),(21n 则有则有 (1) 每个每个 都与总体都与总体 服从相同的分布服从相同的分布；i 即所谓总体就是一个随机变量即所谓总体就是一个随机变量 ，所谓样本就是，所谓样本就是n个与总体个与总体 有着相同分布的相互独立的随机变量

11、有着相同分布的相互独立的随机变量n ,21所组成的所组成的n维随机变量维随机变量).,(21n 3. 样本的联合分布样本的联合分布 由概率论部分知识可知，由概率论部分知识可知，).(),(*121 niinxFxxxF其中其中 为为 的任一组可能的的任一组可能的取值取值.nxxx,21n ,21n ,211. 若设总体若设总体 的分布函数为的分布函数为F(x)，则样本，则样本 的联合分布函数为：的联合分布函数为： niiinnxPxxxP12211, ).(),(*121 niinxfxxxf2. 若总体若总体 为离散型随机变量，并设其分布律为为离散型随机变量，并设其分布律为 ，), 2 ,