第五章 刚体的定轴转动
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1、作业：作业：252391712153 -5 122、P 第五章第五章 刚体的转动刚体的转动5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。止平行的运动，叫做平动。二二.刚体的三种基本运动形态刚体的三种基本运动形态 在外力的作用下，形状和大小完全不变的物体在外力的作用下，形状和大小完全不变的物体称为刚体。称为刚体。一一.刚体的概念刚体的概念1.平动平动ABABAB 运动中的刚体上的各点都绕运动中的刚体上的各点都绕 作大小不同的圆作大小不同的圆运动，这种运动称为定运动，这种运动
2、称为定 转动。转动。2.转动转动点点轴轴点点轴轴如车轮的转动：如车轮的转动：ABoABoABoABoABoABoABoABoABoABo 平动平动+ +转动转动= =平面平行运动，如火车轮子的运动：平面平行运动，如火车轮子的运动：3.平面平行运动平面平行运动OABoABoABoABo 三三.刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述角角位置：位置：1.角量角量t 时刻时刻 时刻时刻t 角加速度：角加速度：角位移：角位移： 角速度：角速度：tt 0lim tdd o P(t)xO)(tp O tdd 22ddt ttt 时间内时间内角量与线量的对应关系：角量与线量的对应关系： rr va2.角
3、量与线量的关系角量与线量的关系RaRaRnt2 , , v212121 , , nnttaaaa vv212121 , , RRRS 2ta21ta1是定值的转动称为：是定值的转动称为： 匀角速转动匀角速转动匀变速转动匀变速转动是定值的转动称作：是定值的转动称作： O匀变速直线运动与刚体匀变速转动的对应关系：匀变速直线运动与刚体匀变速转动的对应关系： ax , , ,00vv 2220 ax2220 vvt 02210tt at 0vv2210attx v为恒值为恒值 为恒矢为恒矢 a3.运动规律运动规律例例1. .一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为，一飞轮作减速运动，其角加速度与角速
4、度关系为， ，k为比例系数，设初始角速度为为比例系数，设初始角速度为 。求：。求：飞轮角速度与时间的关系；当角速度由飞轮角速度与时间的关系；当角速度由 时时所需的时间及在此时间内飞轮转过的圈数。所需的时间及在此时间内飞轮转过的圈数。 k 0 200 tdd ttk0dd0 kt 0ln 解：解： k kte 0 kte 002 21ln1kt k2ln tdd 0 2 在此时间内飞轮转过的圈数在此时间内飞轮转过的圈数 kktte2ln 0 dd00 tdd tektd0 k20 kte 0 kt2ln k40 kktek2ln00 注：注：F 5-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯
5、量表示式：表示式：r一一.力对转轴的力对转轴的力矩力矩1.定义：定义：转轴到力的作用点的矢径与转轴到力的作用点的矢径与作用力的差积。作用力的差积。FrM )2( 正负规定：正负规定： 若力矩使刚体沿若力矩使刚体沿时针方向转动，时针方向转动，M为为 。正正逆逆顺顺负负大小：大小： sinrFM 方向：方向：M由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定 的方向由右手螺旋法则确定的方向由右手螺旋法则确定 （与（与 的方向一致）的方向一致）M rr2.说明说明FF合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩合力矩合力矩= =各力的力矩和（代数和）各力的力矩和（代数和）rr中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的
6、力矩力矩0 0。F0 M 合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零 合力矩为零，合力不一定为零合力矩为零，合力不一定为零FF0 M0 FMMMM0 F rFM2 力不在垂直于转轴的平面内，力不在垂直于转轴的平面内， 只有只有 对转轴力矩有贡献。对转轴力矩有贡献。/FrF F/F一对作用力与反作用力的力矩和等于零，一对作用力与反作用力的力矩和等于零， 质点组对任一轴的内力矩之和为零。质点组对任一轴的内力矩之和为零。二二.转动定律转动定律矢量式：矢量式：iiiiamFF 内内外外 itiititamFF irim 基本思想：基本思想： 把刚体看作质元把刚体看作质元 的集合。的集合。im
7、 1.推导推导切向式：切向式：对整个刚体：对整个刚体：以以 遍乘切向式：遍乘切向式：ir iitiiiiitiiitarmrFrF iitiiitiitramrFrF iiitrFM外外刚体所受的合外力矩：刚体所受的合外力矩： 0 iiitrFiiitra iiiirmM 2 外外内力矩和内力矩和 =定义：定义：转动定律转动定律 JM iiirmJ2 为刚体的转动惯量为刚体的转动惯量 iitiiiiitiiitarmrFrF )(2 iiirm rat 2.牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系物理量：物理量：F aM规规 律：律：amF JM mJ刚体刚体质点质点刚
8、体刚体质点质点牛顿第二定律牛顿第二定律转动定律转动定律不一定不一定问：问：M大，是否大，是否 大？大？ 大，是否大，是否M大？大？不一定不一定v问：刚体所受合外力为零时，它一定不会转动起来吗？问：刚体所受合外力为零时，它一定不会转动起来吗？不一定不一定该定律不但对固定轴该定律不但对固定轴( (转轴转轴) )成立，对质心轴也成立。成立，对质心轴也成立。该定律是力矩的瞬时作用规律。该定律是力矩的瞬时作用规律。3.说明说明 式中各量是对于同一式中各量是对于同一 转轴而言。转轴而言。 JM 力矩力矩是是改变刚体转动状态的改变刚体转动状态的外因。外因。rrFFMM2r3m2.可加性可加性 iiirmJ2
9、1.定义定义 iiirmJ2 VmrJd 21r1m2m233222211rmrmrmJ 三三.转动惯量转动惯量对分离的质点组：对分离的质点组：转轴转轴质量连续分布的物体对转轴的转动惯量：质量连续分布的物体对转轴的转动惯量：J是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度3.物理意义物理意义3r单质点：单质点：2mrJ Vmr d 2与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。2mRJ 环环221mRJ 盘盘与刚体的总质量有关；与刚体的总质量有关；与刚体质量的分布有关；与刚体质量的分布有关；4.J与哪些因素有关与哪些因素有关 VmrJd 2rxdx取取ox轴如图所示，取棍上一线轴如图所示，取棍上一线
10、元元dx为质元，为质元，xlmmdd sinxr xO转动惯量：转动惯量： VmrJd2例例2.质量为质量为m、长度为、长度为l 的均质细直棍，求对通过其中心的均质细直棍，求对通过其中心O且与棍斜交成且与棍斜交成 角的轴的转动惯量。角的轴的转动惯量。 5. J 计算应用举例计算应用举例 2 2 2d)sin(llxlmx 22sin121mlJ 至转轴的距离：至转轴的距离：解：解： VmrJd 2其质量：其质量：当当 ， 即为棍对过它的即为棍对过它的 中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。 2 2121mlJ 刚体对某轴的转动惯量刚体对某轴的转动惯量 J，等于，等于刚
11、体对通过质心的平行轴的转动刚体对通过质心的平行轴的转动惯量惯量 , ,加上刚体质量加上刚体质量m乘以两乘以两平行轴之间的距离平行轴之间的距离d 的平方。即的平方。即cJ2mdJJc 过棒一端过棒一端 、仍与棍斜交成、仍与棍斜交成 角的轴的转动角的轴的转动 惯量惯量 。 O oJ 讨论：讨论：由平行轴定理：由平行轴定理：rxdx xOdO 22sin121mlJ 222)sin2(sin121 lmml 22sin31ml 为棍对过棍一端、为棍对过棍一端、 且与且与231 ,2mlJo 时时 2mdJJoo 讨论：讨论：棍垂直的轴的转动惯量。棍垂直的轴的转动惯量。 rxdx xOdO 复复 习习
