洛朗级数展开习题精讲

《洛朗级数展开习题精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《洛朗级数展开习题精讲（24页珍藏版）》请在文档大全上搜索。

1、3.5 洛朗洛朗( (Laurent) )级数展开级数展开已知：已知：当当f( (z z) )在圆在圆| |z z- -z z0| |R内解析时，内解析时，Taylor定理告诉我们，定理告诉我们， f( (z z) )可展开成幂级数。可展开成幂级数。问题的提出问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点孤立奇点z z0邻域上的展开式。邻域上的展开式。考虑：考虑：当当f( (z z) )在圆在圆| |z z- -z z0| |R内有奇点时，能否内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。教学

2、目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.难点：解析函数的洛朗展式的证明.一、双边幂级数一、双边幂级数( (含有正、负幂项含有正、负幂项) )00)(kkkzza.)(.)()( )()(.)(.)(020201010120200kkkkkkkzzazzazzaazzazzazzazza其中其中正幂部分称为正幂部分称为 解解析析( (正则正则) )部分部分，负幂部分称为负幂部分称为 主主要要( (无限无限) )部分部分。10)(kkkzza收敛区域收敛区域( (

3、环环) )的确定：的确定：正则部分正则部分 收敛收敛( (圆圆) )区域为：区域为：负幂部分负幂部分 令令 则则设设 即负幂部分在即负幂部分在| |z z- -z z0| |=R2的圆外收敛。的圆外收敛。00)(kkkzza )(10kkkzza)0( |110RRzz01zz .33221aaa21|RR 0|220RRzz，由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。的敛散性来定义原级数的敛散性。规定：规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级

4、时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和数与负幂项级数的和。讨论：讨论：( (1) )若若R1R2，则双边幂级数就在，则双边幂级数就在R2| |z z- -z z0| |R1环环状区域内收敛，环状收敛域称为状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。发散，在环上敛散性不定。正则部分正则部分 主要部分主要部分00)(kkkzza10)(kkkzza01zz 收敛环收敛环R2|z z- -z z0|R1双边幂级数的性质双边幂级数的性质定理定理1：双边幂级数双边幂级数 在收

5、敛环上的和函数是一在收敛环上的和函数是一解析函解析函数数，并且在任意较小的闭圆环上，并且在任意较小的闭圆环上 一致收敛。一致收敛。kkkzza)(011022|RRzzRR定理定理2：设双边幂级数设双边幂级数 的收敛环的收敛环B为为R2| |z z- -z z0| |R1，则，则f( (z z) )( (1) ) 在在B内连续；内连续；( (2) ) 在在B内解析，且逐项可导；内解析，且逐项可导；( (3) ) 在在B内可逐项积分。内可逐项积分。kkkzzazf)()(0定理定理3：设函数：设函数f( (z z) )在环状区域在环状区域R2| |z z- -z z0| |R1的内的内 部单值解

6、析，则对于环内任一点部单值解析，则对于环内任一点z z，f( (z z) ) 必可展开成必可展开成 ，其中，其中kkkzzazf)()(0Ckkdzfia10)()(21称为洛朗系数，称为洛朗系数，C为环域为环域内按逆时针方向绕内圆内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线一周的任一闭合曲线( (也也可取圆周可取圆周) )几点说明：几点说明：( (1) ) z z=z z0( (即展开中心即展开中心) )可能不是可能不是f( (z z) )的奇点，但的奇点，但 在在| |z z- -z z0| |R2上，存在奇点上，存在奇点( (即内圆以内存在即内圆以内存在 奇点奇点) )；( (2) ) 洛朗系