理论力学 第2版 06静力学专题_3重心

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1、第三节第三节 物体的重心物体的重心基本概念基本概念重心：重心：形心：形心：基本结论基本结论1）对于匀质物体，重心与形心位置重合）对于匀质物体，重心与形心位置重合2）形心位于物体的几何对称轴上）形心位于物体的几何对称轴上物体重力的作用点物体重力的作用点物体的几何形状中心物体的几何形状中心一、物体的重心坐标计算公式一、物体的重心坐标计算公式 iiCiiCiiCx PxPyPyPzPzP有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi , zi ) 为第为第 i 小小块的重心坐标；块的重心坐标； Pi 为第为第 i 小块的重力小块的重力无限分割形式：无限分割形式： 式中，式中，( x ,

2、 y , z ) 为微元为微元 dP 的重心坐标的重心坐标dddCCCx PxPy PyPz PzP二、物体的质心坐标计算公式二、物体的质心坐标计算公式 iiCiiCiiCxmxmymymzmzm有限分割形式：有限分割形式： 其中，其中，( xi , yi , zi ) 为第为第 i 小小块的质心坐标；块的质心坐标； mi 为第为第 i 小块的质量。小块的质量。无限分割形式：无限分割形式： 其中，其中，( x , y , z ) 为微元为微元 dm 的质心坐标。的质心坐标。dddCCCx mxmy mymz mzm三、物体的形心坐标计算公式三、物体的形心坐标计算公式 iiCiiCiiCx Vx

3、VyVyVzVzV有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi , zi ) 为第为第 i 小小块的形心坐标；块的形心坐标； Vi 为第为第 i 小块的体积小块的体积无限分割形式：无限分割形式： 式中，式中，( x , y , z ) 为微元为微元 dV 的形心坐标的形心坐标dddCCCx VxVy VyVz VzV四、平面图形的形心坐标计算公式四、平面图形的形心坐标计算公式 iiCiiCxAxAyAyA有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi ) 为第为第 i 小块小块的形心坐标；的形心坐标； Ai 为第为第 i 小块的面积小块的面积无限分割形式：无限分割

4、形式： 式中，式中，( x , y ) 为微元为微元 dA 的形心坐标的形心坐标ddCCx AxAy AyA五、曲线段的形心坐标计算公式五、曲线段的形心坐标计算公式 iiCiiCiiCx lxlylylzlzl有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi , zi ) 为第为第 i 小小段曲线的形心坐标；段曲线的形心坐标； li 为为第第 i 小段曲线的长度小段曲线的长度无限分割形式：无限分割形式： 式中，式中，( x , y , z ) 为曲线为曲线微元微元 dl 的形心坐标的形心坐标dddCCCx lxly lylz lzl例例1 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心

5、。确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。310Cyb34CxaOxyabr例例2 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧，圆弧所对的圆心角为所对的圆心角为 2 。 解：解：dlCx lxl0Cy 以以 d 表示微元弧长表示微元弧长 dl 所对的圆心角所对的圆心角若为半圆弧，即有若为半圆弧，即有 = / 2，则得，则得 2Crx ydl选取圆弧的对称轴为选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点，轴并以圆心为坐标原点，xd由对称性得由对称性得代入曲线段的形心坐标计算公式代入曲线段的形心坐标计算公式002cosd2drrrxs

6、inr例例3 试确定图示均质三角板试确定图示均质三角板 的重心位置。设三角板底边的重心位置。设三角板底边 长长为为 ，高为，高为 。bABDBDh解解:如图，将三角板分割成一系列平行于底边的细长条，由于每一细长条的重心均在其中点，因此整个三角板的重心 必位于中线 上。 AEC显然，只要再求出 ，则三角板 的重心位置即定。CyABD建立坐标系，取任一平行于底边 的细长条为微元，其面积 BDhydAb dyb dyh 则0()132hACbhy ydyydAhhyAbh选取坐标轴，选取坐标轴，211.2cm 12cm14.4cmA 10.6cmx 16cmy 226.8cm 1.2cm8.16cm

7、A 24.6cmx 20.6cmy 1 1221214.4 0.68.16 4.6cm2.05cm14.48.16CAxA xxAA11221214.4 68.16 0.6cm4.05cm14.48.16CA yA yyAA 例例4 如图，已知如图，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，试确定该图形，试确定该图形的形心位置。的形心位置。 由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为III其面积和形心坐标分别为其面积和形心坐标分别为解：解：xy将该图形分割成两个矩形将该图形分割成两个矩形ORra例例5 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径，小圆的半径为为 r ，两圆的中心距为，两圆的中心距为 a 。解：解：21AR10 x 22Ar 2xa2221 1222222120CRraAxA xarxAARrRr 0Cy 图形可视为从大圆中切去了一个小圆图形可视为从大圆中切去了一个小圆根据平面图形形心坐标计算公式，得根据平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为该图形的形心坐标为其面积和形心坐标分别为其面积和形心坐标分别为III取图示坐标轴，取图示坐标轴，xyO因图形对称于因图形对称于 x 轴，故有轴，故有