EMF8 cont 库仑定律及场强

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1、第第8 8讲讲 电位函数电位函数授课内容授课内容静电场旋度和环路定律静电场旋度和环路定律电位函数电位函数高斯通量定理高斯通量定理8.1 8.1 静电场旋度和环路定律静电场旋度和环路定律 1). 静电场旋度（从物理角度）8.1.1 静电场的旋度 分析当电荷q0在电场从P点沿路径C 移至Q(P0)点时所做的功。0dAFdlq Edl=vvvv0QPAq Edl=vv 定义P、Q两点间的电压为：0QPQPUEdlq=A Avv 分析点电荷产生的电场中，P、Q两点间的电压：204QQPQRPPqUEdladlRpe=蝌vvvvsi nRdla dRa R da Rdqjqq j=+vvvv可见，可见，

2、U UPQPQ只与只与P P和和Q Q点的位置有关，而与所取路径点的位置有关，而与所取路径无关。对于任何电荷分布，该结论都成立。无关。对于任何电荷分布，该结论都成立。)11(44020QPRRRRqRdRqQP 2). 静电场的无旋性（从数学角度） 点电荷电场30( )4qrrE rrrpe-=-vvvvvv30( )4qrrE rrrpe-汛=汛-vvvvvv 矢量恒等式：C FCFCF汛=汛+ 汛vvv33311( )( )rrrrrrrrrrrr-汛=汛-+ 汛-vvvvvvvvvvvv故 ，静电场是无旋场。( )0E r汛vv331( )3( )0rrrrrrrrrr-汛-= -=-v

3、vvvvvvvvv取旋度0 2). 静电场的无旋性（从数学角度） 分布电荷电场200( )111( )( ) ()44RvvrE ra dVrdVRRrrpepe= -蝌vvv011( )( )( )4vE rrdVRrpe轾= - 犏犏臌vv011( )( )( )4vE rrdVRrpe轾汛= 汛-犏犏臌vv故静电场是无旋场。( )0E r汛vv0u汛利用 当取电场E沿闭合路径的线积分时，有Pm QPnQEdlEdl=蝌vvvv0Pm QPnQEdlEdl+=蝌vvvv0Pm Q nPEdl=vv0CEdl=vv在静电场中，沿任一闭合路径任一闭合路径绕一周移动单位正电荷，电场力做的功为0，

4、这意味着当所有电荷分布一定时，电场能量即为一定值，故静电场为保守场。右式表明 静电场是一个无旋场。0E()0lsEd lEd S汛缀蝌vvvv蜒 由斯托克斯定理，得 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。 0 0lEEdl汛=vvv二者等价。QPmn8.1.2 静电场的环路定律8.2 8.2 电位函数电位函数1) ) 电位的引出 根据静电场的无旋性，可以定义另一个表征静电场特性的场量-标量电位。 如果取Q点作为电位参考点(电位为0)，则P点电位定义为：QPPE dl 电位的单位与电压相同，为V(伏)。 物理含义:与将电荷从一点移至另一点所做的功

5、有关。在静电场中，将单位电荷从P1点移P2点，克服电场力所做的功为：2211PQPPPQWE dlE dlE dlq 2112QPPQPPEddllE 2)2) 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。任意两点的电压就是两点间的电位差。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单简单，且要有意义。在实际工作中，常常把大地表面大地表面作为电位参考点。而在理论分析中，只要引起电场的全部电荷都在有限有限的空间区域内，都可取无穷远处无穷远处作为电位参考点。 参考点的选取是任意的，参考点不同，各点的电位都增加(或减少)一个常数。3) 已知电荷分布，求电位：

6、101( )4Niiiqrrr点电荷群01( )4vdqrrr连续分布电荷dl,dS,dV:dq 设参考点在无究远处，真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处的电位为：220001( )444rrrqqdRqradlRRR4) 电位与电场强度关系：( )( )E rrf= - vv0E汛=v根据静电场的无旋性 微分关系：右式说明，右式说明，任意一点的电场强度任意一点的电场强度E的的方向方向总是沿着总是沿着电位电位减少减少的最快方向，其大小等于电位的的最快方向，其大小等于电位的最大变化率最大变化率。011( )( ) ( )4VE rrdVRrpe= -vv0( )1( )4VrE rdVRrp

7、e轾犏= - 犏犏臌vv是对场点场点的微分算符，积分是对源点源点进行， 可提到积分号积分号外外000PPPPPPE dldfff = -=-蝌vv设P0为电位参考点，即 ，则P点电位为00Pf=0PPPEdlf=vv00PPPPPEdldlff=-炎蝌vvv 电位与电场强度的积分关系 线积分() ()xyzxyzdleeedxedyedzexyzffff抖炎=+抖vvvvvvvdxdydzdxyzffff抖=+=抖所以式中5) 电力线与等位线（面） E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若 是电力线的长度元，E E 矢量将与 方向一致，l dl d0Edl故电力线微分方

8、程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线 E E 的方程。当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即C)z ,y,x(等位线(面)方程:例:画出电偶极子的等位线和电力线 。()rd电偶极子电偶极子：相距很近的两个等值异号电荷。(其与场点距离远大于其正负电荷距离场点距离远大于其正负电荷距离)电偶极子的电矩电矩： (p p的方向由-q指向q)pq l采用球坐标系：2101201 211()44pqqrrrrrrjpepe-=-=2200cos44rpqdparrqjp ep e=v30(2 cossin)4prqEaerqj

9、qqpe= - =+vvrdrrdEEqq=电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得si nrD解得线方程为将 和 代入上式，ErE等位线方程（球坐标系）： cosrC20cos4pCr， 表示电偶极矩，方向由负负电荷指向正正电荷。p图1.2.2 电偶极子 当R很大，且d 0）()()1 2221 22200022assrdrzazzrrrfee轾=+-犏臌+()1 222012szzzEaazzafrfe轾犏= - = -=-犏+犏臌vv()0 02szEazre=vv可见，只要 z 有限，则 E 是均匀的，且与 z 无关。a当 时，相当与无限大带电荷平面在其一侧（ z 0）附近产生的场：应

10、用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为8.3.18.3.1高斯通量定理的微分形式高斯通量定理的微分形式8.3 8.3 真空中的高斯定理（静电场中场与源的关系）真空中的高斯定理（静电场中场与源的关系）作散度运算301( )( )4VrrErrdVrrrp e-=-vvvvvvv高斯定理的微分形式0( )( )rE rre炎=vv说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。0E0E0E8.3. 2 8.3. 2 高斯定理的积分形式高斯定理的积分形式 在无限大真空中有一点电荷，以该点电荷的在处为球心球心作一任意半径为r的球面，则由该球面穿出的E通量通量应为：2200044rSSqqqEdSadS

11、dSrrepepe=蝌vvvv蜒 在如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的E能量应为：204rSSqEdSadSrpe=蝌vvvv蜒20000si n4qqddppq qjpee=蝌rrdSa dSa dSa dSqqjj=+vvvv2si nrdSrd dq q j= E对任意闭合面的通对任意闭合面的通量只与面内包含的电量只与面内包含的电荷多少有关，而与闭荷多少有关，而与闭合面的形状无关。合面的形状无关。2201si n4qrd drq q jpe= 高斯定理：在真空电场中，由任意闭合面穿出的E通量，应等于该闭合面所包围的电荷的代数和与真空电容率的比值 如

12、果在无限大真空的电场中，闭合面S包围了N个点电荷，根据叠加原理，可得：0111nnNiiiSSSiiiqEdSEdSEdSe=邋蝌vvvvvv蜒01SVEdSdVre=蝌vv真空中高斯通量定理的积分形式 静电场中任一闭合面上E的通量不恒等于0，说明静电场是有通量源的场，通量源为电荷。通过计算立体角的方法8.3.38.3.3 E E 的通量01VVEdVdV011niSiEdSq闭合曲面的电通量闭合面外的电荷对场的影响散度定理散度定理 S 面上的 E E 是由系统中全部电荷产生的。 E E 的通量等于闭合面 S 包围的净电荷。作业： 2-3, 2-4，2-5, 2-8, 2-12, 2-13,

13、2-14对场点坐标作散度运算301( )() ( )4VrrE rrdVrrrpe-炎=炎-vvvvvvv静电场高斯散度定理的推导301( )( )4VrrE rrdVrrrpe-=-vvvvvvv矢量恒等式：()()C FCFCF炎=炎+炎vvv31CFrrrr=-vvvvv，式中：33311()() ( )( )rrrrrrrrrrrr-炎=炎-+炎-vvvvvvvvvvvv533( )3( )rrrrrrrr-= - -+-vvvvvvvv3333rrrr无电荷区内，电场强度的散度等于零。则( )0E r31()rrrrrr-=- -vvvvvv301( )() ( )4VrrE rrdVrrrpe-炎=炎-vvvvvvv2011() ( )4Vr dVrrrpe= -vvv0rr-=vv当时 ：0rr-vv当21 ()4( )rrrrpd= -vvQvv00( )1( )( ) ( )VrE rrrr dVrrdee炎=-=vvvvvv图1.2.10 源点与场点的坐标的矢量表示0rr-vv当时 ，3()rrrr-炎-vvvv33330rrrr 见附录7