第2章概率论习题课

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第二章习题课一、主要内容一、主要内容随随 机机 变变 量量离离 散散 型型随机变量随机变量连连 续续 型型随机变量随机变量分分 布布 函函 数数分分 布布 律律密密 度度 函函 数数均均匀匀分分布布指指数数分分布布正正态态分分布布两两点点分分布布二二项项分分布布泊泊松松分分布布随机变量随机变量的函数的的函数的 分分 布布定定义义二、重点与难点二、重点与难点1.重点重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算函数、密度函数及有关

2、区间概率的计算2.难点难点连续型随机变量的概率密度函数的求法连续型随机变量的概率密度函数的求法(1)解解：放放回回：,X设设抽抽取取次次数数为为随随机机变变量量:X则则的的所所有有可可能能取取值值为为1,2,X 13101,2,1313kP Xkk 分分布布律律为为：例例1三、典型例题三、典型例题(2)不不放放回回：,X设设抽抽取取次次数数为为随随机机变变量量X则则的的所所有有可可能能取取值值为为1,2,3,4X 101,13P X 分分布布律律为为：3 102,13 12P X 3 2 103,13 12 11P X 3 2 1 10413 12 1110P X .,212. 2, 21,3

3、2, 11, 1, 0)(的分布律的分布律并求并求试确定常数试确定常数且且的分布函数为的分布函数为设离散型随机变量设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX 思路思路 首先利用分布函数的性质求出常数首先利用分布函数的性质求出常数 a, b,再用已确定的分布函数来求分布律再用已确定的分布函数来求分布律.解解:)(的性质的性质利用分布函数利用分布函数xF例例2),0()( iiixFxFxXP, 1)( F221 XP知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxF因此有因此有从而从

4、而 X 的分布律为的分布律为XP211 213161,03( )2,3420,1; 2( )7312Xkxxxf xxkXF xPX 设设随随机机变变量量 具具有有概概率率密密度度其其它它（ ）确确定定常常数数（ ）求求 的的分分布布函函数数；（ ）求求例例31(1)( )16f x dxk 由由得得解解: :0303(2)0,0,036( )2,34621,4xxxxdxxF xxxdxdxxx 分分布布函函数数 ,xF xf t dtx 220,0,0312( )32,3441,4xxxF xxxxx 即即分分布布函函数数 77413112248PXFF （ ）设某类日光灯管的使用寿命设某

5、类日光灯管的使用寿命 X 服从服从120001,0,( )0,0.xexF xx X 的分布函数为的分布函数为解解参数为参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以上的概率小时以上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上小时以上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. 例例41000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP100020

6、00 XPXP . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx如如X 服从指数分布服从指数分布, 则任给则任给s,t 0, 有有 PXs+t | X s=PX t()事实上事实上()/()()|1()ee1( )e.s tt s PXstXsP Xst XsP XsP XstF stP XsF sP Xt l性质性质()称为称为无记忆性无记忆性.l指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的指数分布在可

7、靠性理论和排队论中有广泛的运用运用.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函数的分布函数求求求系数求系数的概率密度为的概率密度为已知随机变量已知随机变量XYxFXAxAxfXx 解解有有由概率密度的性质由概率密度的性质,)1( xAxxfxded)(1 0de2xAx,2A .21 A故故例例5,de21)()2( xxxxF有有时时当当,0 xxxFxxde21)( ;e21x 有有时时当当,0 xdede21)(00 xxxxxxF;e211x 所以所以 X 的分布函数为的分布函数为 . 0,e211, 0,e21)(xxxFxx, 0)3(2 XY由于由于;