多元函数的极值与拉格朗日乘法

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1、1多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法小结小结 思考题思考题 作业作业第八节第八节 多元函数的极值与多元函数的极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义一元函数的极值一元函数的极值的定义的定义:是在一点是在一点附近附近将函数值比大小将函数值比大小.定义定义点点P0为函数的为函数的极大值点极大值点. 类似可定义极小值点和极小值类似可定义极小值点和极小值.设在点设在点P0的某个邻域的某个邻域, ),()(

2、0PfPf 为为极大值极大值.则称则称)(0Pf多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法3 注注 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是多元函数的极值也是局部的局部的, 一般来说一般来说:极大值未必是函数的最大值极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值极小值未必是函数的最小值.有时有时,极值极值. .极值点极值点. .内的值比较内的值比较.是与是与P0的邻域的邻域极小值可能比极大值还大极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的

3、极值与拉格朗日乘数法4xyzOxyzO例例2243yxz 例例22yxz 例例xyz 函数函数 存在极值存在极值, 在在(0,0)点取极小值点取极小值. 在在(0,0)点取极大值点取极大值. (也是最大值也是最大值).在在(0,0)点无极值点无极值.椭圆抛物面椭圆抛物面下半个圆锥面下半个圆锥面马鞍面马鞍面在简单的情形下是在简单的情形下是容易判断的容易判断的.函数函数函数函数(也是最小值也是最小值).函数函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法 xyzO 52. .极值的必要条件极值的必要条件证证定理定理1 1( (必要条件必要条件) ),(),(00yxyxfz在点在点

4、设函数设函数 具有具有处处且在点且在点),(00yx则它在该则它在该点的偏导数必然为零点的偏导数必然为零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏导数偏导数,有极值有极值处处在点在点),(),(00yxyxfz 有极大值有极大值,不妨设不妨设的某邻域内任意的某邻域内任意则对于则对于),(00yx),(),(00yxyx 都有都有),(),(00yxfyxf 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法,00时时故当故当xxyy ),(),(000yxfyxf 有有说明一元函数说明一元函数处处在在00),(xxyxf 有极大值有极大值,必有必有; 0),(00 y

5、xfx. 0),(00 yxfy类似地可证类似地可证6推广推广 如果三元函数如果三元函数),(),(000zyxPzyxfu在点在点 具有偏导数具有偏导数,则它在则它在),(000zyxP有极值的有极值的必要条件必要条件为为, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法均称为函数的均称为函数的驻点驻点极值点极值点仿照一元函数仿照一元函数,凡能使凡能使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的同时为零的点点,驻点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点如如,的的是函数是函数点点xyz

6、 )0 , 0(驻点驻点, 但不是极值点但不是极值点. 注注73. .极值的充分条件极值的充分条件定理定理2 2( (充分条件充分条件) ),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 的某邻域内连续的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数, 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在点在点则则处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时

7、02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法8求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤: :),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法9例例 解解又又在点在点(0,0)

8、处处, 在点在点(a,a)处处, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函数求函数 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa驻驻点点 xxf xyf yyf229aBAC 故故),(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的极值的极值.0 在在(0,0)无极值无极值;0 在在(a,a)有极大值有极大值,0 ,6x ,3a.6y 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1004222 xxzzzx解解求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 将方程两边分别对将

9、方程两边分别对x, y求偏导数求偏导数,04222 yyzzzy 由函数取极值的必要条件知由函数取极值的必要条件知,驻点为驻点为),1, 1( P将上方程组再分别对将上方程组再分别对x, y求偏导数求偏导数,21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一法一11故故22)2(1zBAC )2( z函数在函数在P有极值有极值.0 010422222 zyxzyx)1, 1( P将将代入原方程代入原方程,6, 221 zz有有,21时时当当 z41 A, 0 2)1, 1( fz为极小值为极小值;,62时时当当 z41

10、 A, 0 6)1, 1( fz为极大值为极大值.zzAPxx 21|0| PxyzB多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以所以所以zzCPyy 21|12求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法解解 法二法二 配方法配方法 方程可变形为方程可变形为16)2()1()1(222 zyx 于是于是22)1()1(162 yxz,1, 1时时当当 yx 显然显然, 根号中的极大值为根号中的极大值为4,由由可知可知,42 z为极值为极值.即即6 z为极大

11、值为极大值,2 z为极小值为极小值.13取得取得. .然而然而, ,如函数在个别点处的如函数在个别点处的偏导数不存在偏导数不存在, ,这些点当然不是驻点这些点当然不是驻点,如如: 函数函数22yxz 不存在不存在, ,但函数在点但函数在点(0,0)处都具有极大值处都具有极大值. . 在研究函数的极值时在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外除研究函数的驻点外,还应研究还应研究偏导数不存在的点偏导数不存在的点. .注注由由极值的必要条件知极值的必要条件知, , 极值只可能在驻点处极值只可能在驻点处但但也可能是极也可能是极值值点点.在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法