第3-4章习题课

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1、矩和相关阵矩和相关阵若若 ,2 , 1,)(kEEk存在，则称其为存在，则称其为 X 的的 k 阶中心矩阶中心矩。若若lkEEE)()( ,2,1, lk存在，则称其为存在，则称其为X 和和 Y 的的 阶混合中心矩阶混合中心矩。lk 定义定义 设设X与与Y 是随机变量，若是随机变量，若存在，则称其为存在，则称其为 X 的的 k 阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k 阶矩。阶矩。 ,2 , 1),(kXEk若若存在，则称其为存在，则称其为 X 和和 Y 的的 阶混合矩阶混合矩。lk ,2 , 1,),(lkYXElk课前课前复习复习又记又记(,)ijijCov )(jjiiEEE . 2 , 1,

2、ji对于二维随机向量，有对于二维随机向量，有则称矩阵则称矩阵11122122 为随机向量为随机向量 X 的的协方差阵协方差阵。定义定义 设设 ，记，记 21XX称称 为为X 的的数学期望数学期望。,2121 EXEX ,21 xxx称矩阵称矩阵为为 X 的的相关阵相关阵。 112112 R附：附：n 维正态分布的一些重要性质：维正态分布的一些重要性质：服从服从 n 维正态分布维正态分布的的任任一一线线性性组组合合nXXX,21 122. (,)nXXX.2211服服从从一一维维正正态态分分布布nnXlXlXl 1. ),), ,( ( , , , ,221 iiinNXXXX 相互独立，且相互

3、独立，且设设 ).)., ,( ( 21211 iniiiniiniiiccNXc 则有则有3. 若若 服从服从n 维正态，维正态， 是是 的线性组合，则的线性组合，则 服从服从 m 维正态分布。维正态分布。 12(,)nXXX (1,2, )iXin 12,mY YY12(,)mY YY解解1)1)( , )(,4 )CovCov XY XY 练习练习 设设 X N(1, 42), Y N(1, 22), 且且 X 与与 Y 相互独立，相互独立， 设设 (1) 求求 的协方差阵和相关的协方差阵和相关 阵；（阵；（2）问）问 是否独立？是否独立？,4 ,XYXY( , ) , (,)4(, )

4、( ,)4( , )Cov X XCov X YCov Y XCov Y Y 160044=0 16004 ，相关阵为相关阵为10.01R 协方差阵为协方差阵为2）由于）由于 X, Y 独立，故（独立，故（X, Y）服从二维正态分布，）服从二维正态分布， 故知故知 也服从二维正态分布，又因也服从二维正态分布，又因 所以所以 独立。独立。(,) , 0, 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 只要只要EX，DX 存在，则存在，则 20, DXPEX 或者或者 21DXPEX 定理定理1 1（切比雪夫定理）（切比雪夫定理）1111lim1nnkknkkPEnn 设随机变量序列设随机变量序列 相互独立，且方

5、差相互独立，且方差一致有界，即存在常数一致有界，即存在常数C 使使 则对则对于任意于任意 有有 ,21nXXX() (1,2,),kD XCk0, lim 1nnPYa 定义定义 设设 是一个随机变量序列，是一个随机变量序列， a 为常为常 数，若对任意数，若对任意 ，有，有0 ,21nYYY则称序列则称序列 依概率收敛依概率收敛于于a 。记为。记为.PnYa ,21nYYY结论：设结论：设, aXPn, bYPn又设函数又设函数 g(x,y) 在在(a,b) 连续，连续，特特别别有有则则),(),( bagYXgPnn. , ,CaCXabYXbaYXPnPnnPnn 定理定理2 2（贝努利

6、定理）（贝努利定理）pAfPn)( 1)(lim pAfPnn定理定理3 3（辛钦定理）（辛钦定理）11lim1 niinnP 设设 是一列独立同分布的随机变量，且是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在，数学期望存在， 。则对任意。则对任意 ，有，有 iE0 ,21nXXX即即第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 本节论述的中心极限定理，从理论上阐述了为何正态分布本节论述的中心极限定理，从理论上阐述了为何正态分布应用十分广泛。应用十分广泛。简言之，如果一个随机现象是由众多的随机简言之，如果一个随机现象是由众多的随机因素引起，而各个因素在总的变化中所处的地位差不多，就因素引起，而各个因素在

7、总的变化中所处的地位差不多，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。定理定理4 4（独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理） 设设 是一列独立同分布的随机变量，是一列独立同分布的随机变量， 存在，则对任意存在，则对任意 x，有，有 ,21n,iEX 2(0)iDX 2121lim2ntixinXnPxedtn 注注：由于由于 ， 故上述定故上述定 理的结论可写为理的结论可写为1()niiEXn 21()niiDXn 21121()1lim2()nntiixiinniiXEXPxedtDX 2121lim2ntixinX

8、nPxed tn （2 2）如果令）如果令 ，则，则 就是就是 的的 标准化随机变量。标准化随机变量。111()()nniiiinniiXEXDX nii1nY).(21)(lim22xdtexFxtnn ).()(,xxFnn 时时即即当当（读作（读作 Yn n 近似服从标准正态分布）。近似服从标准正态分布）。).1 ,0(NYn近近似似地地,时时亦亦即即当当 n2121lim2ntixinXnPxed tn 1niinXnYn （3）若记）若记的分布函数为的分布函数为 Fn(x), 则上式可记为则上式可记为, 21().niiXN nn 近近似似，(0 1)nYN近近似似，21()niiX

9、N nn 近近似似，1111(0,1),nnniiiiiinniiXEXXnYNnDX 近近似似211().niiXXNnn 近近似似，211()niiXXNnn 近近似似，证证 由前知，当充分大时，有由前知，当充分大时，有 21().niiXN nn 近近似似，定理定理5 5（二项分布的正态逼近二项分布的正态逼近）221lim()2txnXnpPxedtxnpq ( ,) (1,2,),Xb n pn 设随机变量设随机变量则对任意则对任意 x，有，有 (证明略证明略)。注意定理表明，若。注意定理表明，若 Xb(n, p), 则当则当 n 较大时，较大时，有有 (0,1)XnpNnpq 近近似

10、似于是我们可用正态分布对二项分布进行近似计算。于是我们可用正态分布对二项分布进行近似计算。注注由定理由定理 5 知：若知：若 ，则当，则当n充分大时，充分大时， ( ,)b n p ()()bnpanpP aXbnpqnpq 由于对于固定的由于对于固定的 k、p， 0 (),kkn knPkC p qn P abP abP abP ab 故当故当 n 充分大时，充分大时， (),xnpPXxnpq 解：记解：记X 表示在表示在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于3的次的次 数数, 则则 Xb(90000, 1/31/3).,20000 ,30000 npqnp)3050029

11、500( XP 305002950090000323190000kkkk显然直接计算很麻烦，现用正态逼近。显然直接计算很麻烦，现用正态逼近。例例1. 1. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的 冲击，纵摇角大于冲击，纵摇角大于3 3的概率为的概率为 p=1/3,=1/3,若船舶遭受若船舶遭受 了了9000090000次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有29500-3050029500-30500次纵摇次纵摇 角度大于角度大于3 3的概率是多少？的概率是多少？)29500()30500(npqnpnpqnp .9996.0 )3050029500(