第二章系统的数学模型1

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1、2022-5-301第二章 控制系统的数学模型数学模型数学模型是指描述系统当中各变量之间相互关系的数学表达式是指描述系统当中各变量之间相互关系的数学表达式控制系统数学模型具有非唯一性控制系统数学模型具有非唯一性，主要形式有，主要形式有微分方程、传递微分方程、传递函数、频率特性、结构图函数、频率特性、结构图和和信号流图信号流图等。等。同一系统不同形式的数学模型之间可以相互转换同一系统不同形式的数学模型之间可以相互转换建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的基础。建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的基础。2022-5-302控制工程中将建立系统的数学模型的过程简称为控制工程中将建立系统

2、的数学模型的过程简称为建模建模建模的方法：建模的方法：机理分析法（解析法）机理分析法（解析法）和和实验法实验法建模的原则：建模的原则：一个合理的数学模型应该折中考虑一个合理的数学模型应该折中考虑模型的简化模型的简化性性与与分析结果的准确性分析结果的准确性。建模时，必须对控制系统的工作原理以及构成系统的各个建模时，必须对控制系统的工作原理以及构成系统的各个部分有一个全面的了解，这就要求设计人员必须具备扎实部分有一个全面的了解，这就要求设计人员必须具备扎实的理论基础，并且掌握一定广度的专业知识。的理论基础，并且掌握一定广度的专业知识。2022-5-303第二章 控制系统的数学模型2-l 微分方程微

3、分方程2-2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2-3 传递函数传递函数 2-4 结构图结构图 2-5 信号流图信号流图 2-6 利用利用MATLAB描述和求解系统数学模型描述和求解系统数学模型2022-5-3041.将系统划分为若干个将系统划分为若干个单向环节单向环节，确定每一环节的输入和输出信号。，确定每一环节的输入和输出信号。 所谓单向环节是指此环节的运动状态与后面环节的存在与否没有系所谓单向环节是指此环节的运动状态与后面环节的存在与否没有系。 2.根据个环节的工作原理和遵循的物理学的基本定律（根据个环节的工作原理和遵循的物理学的基本定律（基尔霍夫定律、基尔霍夫定律、牛顿定律

4、、热力学定律、电磁感应定律、能量守恒定律等牛顿定律、热力学定律、电磁感应定律、能量守恒定律等）建立各）建立各环节的数学模型（微分方程或代数方程）。环节的数学模型（微分方程或代数方程）。3.联立描述各环节变量之间关系的微分方程，消除中间变量，最后得到联立描述各环节变量之间关系的微分方程，消除中间变量，最后得到描述整个系统输入输出之间关系的微分方程。描述整个系统输入输出之间关系的微分方程。4.通常还按照惯例把微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项通常还按照惯例把微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，而与输出量有关的各项写在方程的左边，方程两写在方程的右边，而与输出量有关

5、的各项写在方程的左边，方程两边各导数项均按降幂排列。边各导数项均按降幂排列。2.1 2.1 微分方程微分方程一、建立控制系统微分方程的步骤一、建立控制系统微分方程的步骤2022-5-305例例2-1 图图2-1所示为所示为RLC串联电路，串联电路， ui(t)为输入量，为输入量， uo(t)为输出量。为输出量。 列写该电路的微分方程。列写该电路的微分方程。RLCui(t)uo(t)i(t)图图2-1 RLC串联电路串联电路解解:1.引入中间变量。设回路电流为引入中间变量。设回路电流为i(t) (t)u(t)udtdi(t)LRi(t)io3.消去中间变量。将电路中电容元件的约束关系方程带入上式

6、消去中间变量。将电路中电容元件的约束关系方程带入上式dt(t)duCi(t)o整理可得：整理可得：(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCioo2o2RLT1RCT2(t)u(t)udt(t)duTdt(t)udTTioo22o221若令若令可得：可得：2.列写回路的列写回路的KVL方程方程二、环节和系统建模举例二、环节和系统建模举例1、电气系统、电气系统 2022-5-3062、机械系统、机械系统 例例2-2 图图2-2是弹簧是弹簧质量质量阻尼器的机械位移系统。设外作用力阻尼器的机械位移系统。设外作用力F为为输入量，位移输入量，位移x为输出量，试求该系统的微分方程。为输出量，试求

7、该系统的微分方程。mFxkf图图2-2 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统解：解：中间变量：为了方便，在建模过程中引入的一中间变量：为了方便，在建模过程中引入的一些变量些变量:消去中间变量的方法：消去中间变量的方法： maF根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律用输入量和输出量表示中间变量，带入基用输入量和输出量表示中间变量，带入基本方程中。本方程中。kFfF2022-5-30kxFkdtdxfFf22dtxda 22dtxdmdtdxfkxFfkFFFFi maFiFkxdtdxfdtxdm22消去中间变量消去中间变量整理成标准形式整理成标准形式系统的数学模型系统的数学模型元件约束关系方程元

8、件约束关系方程基本数学关系方程基本数学关系方程mFxkf图图2-2 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统2022-5-308例例2-2(书上书上) 图2-2所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。其中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量时，系统的数学模型。解：解： f质量-弹簧-阻尼器系统mkyFkyFkdtdyfFf（2-9） （2-8） 2022-5-30922)(dtydmFFtFfk)(22tFkydtdyfdtydm（2-11） （2-10） 根据牛顿第二定律，可以写出物体的受力平衡方程为 将式（2-8）

9、和式（2-9）带入式（2-10）中，消去中间变量并将所得方程整理成标准形式，有显然，这也是一个二阶线性定常系统。 2022-5-30103. 液位系统出水流量Q2 图2-3 液位控制系统示意图阀门目标水位H0实际水位H进水流量Q1 例例2-3考虑图2-3所示液位控制系统，其中水箱水位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2。试确定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量的关系方程。 2022-5-3011解：解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的关系方程tQQHAd)(d21HKQ 211QAHAKdtdH非线性微分方程 式中，A为容器截面积。

10、当节流阀开度一定时，通过包含连接导管和容器的液体流量为 式中，K为节流阀的流量系数。 将式（2-14）代入（2-13）中可得水箱水位与进水流量的关系方程（2-13）（2-14）2022-5-3012例（补）例（补） 求图所示他激直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。求图所示他激直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。图中，图中， 为电动机角速度（为电动机角速度（rad/s），），Mc为折算到电机轴上的总负载转矩为折算到电机轴上的总负载转矩 （N.m），），Ua为电枢电压（为电枢电压（V）。设激磁电流恒定，并忽略电枢效应。）。设激磁电流恒定，并忽略电枢效应。ia图图2-3 电枢控制的他激直流电动机

11、电枢控制的他激直流电动机-UaMceaUf解：解：图所示他激直流电动机在电枢控制情况图所示他激直流电动机在电枢控制情况 下：下： Ua为输入，为输入， 为输出量，为输出量， Mc为扰动量为扰动量为了便于列写方程，引进中间变量为了便于列写方程，引进中间变量：电动机电枢两端的反电势电动机电枢两端的反电势ea（V）；电）；电枢电流枢电流ia（A）；电动机轴上产生的电）；电动机轴上产生的电磁转矩磁转矩M（N.m）。）。 2022-5-3013 电枢回路电枢回路KVL方程：方程： 反电动势与转速的关系方程：反电动势与转速的关系方程：电动机轴上产生的电磁转矩电动机轴上产生的电磁转矩：电动机轴上的动力学方程