第2章 连续时间域分析

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1、信号与系统分析（第2版）电子教案1电子教案目录信号与系统分析（第2版）电子教案2信号与系统分析（第2版）电子教案3A为振幅，为振幅，为初相，为初相，为振荡角频率，周期为振荡角频率，周期T和频率和频率f分别为分别为2.1 基本信号1. 正弦信号( )cos()cos()sin()x tAtatbt21,2TfT正弦信号的定义正弦信号的定义注意：正弦信号的时间移位、导数仍为正弦信号，具有同一频率的正弦信号相加也为同频率的正弦信号。信号与系统分析（第2版）电子教案4cos()0.5()Resin()0.5()Imjjjjjjeeeeee一般形式的复指数信号定义为cos( )sin( ) (1)cos

2、( )sin( ) (1)jjejjejj欧拉公式欧拉公式()( )tjtjtx tceece因此注意：虚部决定信号的振荡频率，而实部决定了信号振幅的变化， 0时则是增幅振荡，而 0)( ) ( )0 ( 0)x ttx t tt 单边特性单边特性 加窗特性加窗特性)()()(tttp 矩形脉冲矩形脉冲( )( )x t p t加窗信号加窗信号2.1 基本信号3. 阶跃信号信号与系统分析（第2版）电子教案8例例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号)()()()()()()()()()()()()(1)()(12312113121tttxtxttxtxtxt

3、ttxttttxttxtx13121t t txtt 0tx0t t xx(t)( )()(f (t)o2t12-1f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) 2.1 基本信号3. 阶跃信号信号与系统分析（第2版）电子教案9（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号00( )()d0 ( )ttr ttttt ( )( )dr ttdt2.1 基本信号3. 阶跃信号信号与系统分析（第2版）电子教案10000a)2t2(aa（1）冲激信号的物理背景）冲激信号的物理背景 冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰

4、信号、瞬间作用的冲击等等。单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案11注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号）冲激信号( (t t) )的数学描述的数学描述( )d1( )0 (0tttt 当时 ）)( , 0)(1)()(0000ttttdttttt 延迟单位冲激(t)(t)的狄拉克定义的狄拉克定义单位冲击函数一般冲激信号)( , 0)()()(0000ttttKKdtttKttK2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案12 脉冲函数极限定义法脉冲函数极限

5、定义法矩形脉冲逼近：矩形脉冲逼近：)2t2(aa 脉冲逼近：脉冲逼近：11d11d222atarctanatatttaa积分：极限：2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案13频域积分定义法频域积分定义法 此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的基础，请记住此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的基础，请记住。意义：意义：冲激函数可用无限个频率的虚指数的“和”表示。de21jt因为：)2t2(aat-adee21jde21dee21jj0tt-aa) t (lim所以：de21jt)t(即：2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案14（3）冲激信号（函数

6、）的性质）冲激信号（函数）的性质00( )( )d10tttt引入冲激函数后，间断点的导数可以表示为引入冲激函数后，间断点的导数可以表示为)(t 冲激函数与阶跃函数的关系冲激函数的积分为阶跃函数tttd)(d)(阶跃函数的微分为冲激函数0(t)t0(1)微分t122)(t1t22)( t2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案15（2）冲激函数的抽样性质）冲激函数的抽样性质 000tttxtttx0000( ) ()d( ) ()d( )x ttttx ttttx t二、冲激信号1.3 阶跃信号和冲激信号 tx t0t 0tx连续信号连续信号与与相乘，相当于将冲激相乘，相

7、当于将冲激时刻的信时刻的信号号“筛分筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度出来，赋给冲激函数作为冲激强度。即：即： tx t0t 0tx连续信号连续信号与与相乘，相当于将冲激相乘，相当于将冲激时刻的信时刻的信号号“筛分筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度出来，赋给冲激函数作为冲激强度。即：即：连续信号连续信号与与相乘再积分，等于冲激时刻相乘再积分，等于冲激时刻的信号的信号值值，这就是抽样性质这就是抽样性质。 tx t0t 0tx连续信号连续信号与与相乘再积分，等于冲激时刻相乘再积分，等于冲激时刻的信号的信号值值，这就是抽样性质这就是抽样性质。 tx t0t 0tx信号与系统分析（第2版）电子教案

8、16x nTn)(22)()4sin()()4sin(tttt?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)() 1(12t022其它, 011,2tt(t)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt例例2.1.2用冲激序列对连续信号抽样 ( )()nx nTx ttnT dt2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案17 冲激函数的尺度变换性质)(1)(taat其中 a 为不等于 0 的实常数)(1)(00attatat推论)()(tt1a 当取 时，有 t为偶函数为偶函数所以所以)2(2)2(ttt0)(tt)

9、()(e2 )(e)(e2)(edd2222tttttttttt解：解：根据冲激函数的性质进行化简： 例例2.1.3)( ),2(tttt2de( )dttt和化简2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案18例例2.1.4( )2 ( )(2) 4 (2)(3)2 ( ) (4 2 ) (2) 4 (3)x ttttttt tttt( )2 ( )2( )2 (2) (42 ) (2)4 (3)2 ( )2 (2)4 (3)x ttttttttttt)(tx)(tx写出右图所示信号 的表达式，并求一阶导数22( )4(2(2)4 (2)8 (2)2x tttttt解解 利

10、用冲激函数的尺度变换性质和抽样性质，有：2( )4(24)x ttt例例2.1.5 化简表达式2.1 基本信号4. 冲激信号信号与系统分析（第2版）电子教案19（1）定义：）定义：11( )()()22ttt0( )lim( )tt dtt ( ) t单位冲激函数 的导数为单位冲激偶函数dttdt)()(2.1 基本信号5. 冲激偶信号信号与系统分析（第2版）电子教案20（2）单位冲激偶性质）单位冲激偶性质000000( )()d( )d( )( ) ()d( ) ()d( )x ttttx tttx tttx ttttx ttttx t ( )x t( )x t 抽样性质： 设 为常规函数，

11、其导数 在 t=t0 处连续，则积分( )d0tt 积分性质：2.1 基本信号5. 冲激偶信号信号与系统分析（第2版）电子教案21 乘积性质：( )( ) ( ) ( )( ) ( ) = (0)( )(0) ( )x ttx ttx ttxtxt( )( )(0)( )x ttxt注意：d ( )()dtt d ( )( )dttt 对称性： 为奇对称函数( ) t( ) t由于 为偶对称函数2.1 基本信号5. 冲激偶信号信号与系统分析（第2版）电子教案22信号与系统分析（第2版）电子教案23 仅以单一输出信号为未知量而不含其他中间物仅以单一输出信号为未知量而不含其他中间物理量的数学关系式

12、称为系统的输入输出（理量的数学关系式称为系统的输入输出（I/O）方程方程. 对实际系统的分析：对实际系统的分析：u 首先要依据系统的定律和定理建立合理的模型；首先要依据系统的定律和定理建立合理的模型；v 其次要选取必要的物理量，列出这些物理量间所其次要选取必要的物理量，列出这些物理量间所具有的数学关系；具有的数学关系；w 最后运用信号与系统理论进行分析最后运用信号与系统理论进行分析.1. 输入输出微分方程描述2.2 系统的微分方程描述信号与系统分析（第2版）电子教案24MkkMkMkNkkNkNkttxbttya00d)(dd)(d一般情况下，一般情况下，M0时的微分方程时的微分方程 h”(t

13、) + 5h(t) + 6h(t) = 0故故原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为h(t)=(A1e-2t + A2e-3t)(t) h(t)=(-2A1e-2t -3 A2e-3t)(t)代入初始条件代入初始条件 0=A1 + A2 1=-2A1 -3 A2求得求得A1=1,A2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 由上式可得由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1)()(d)(dd)(d1

14、110ttyattyattyaNNNNN对高阶微分方程对高阶微分方程 1100d( )1dNNty tta220d( )0dNNty tt 2.3 单位的冲激响应描述1. 冲激响应信号与系统分析（第2版）电子教案29 例例2.3.2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= x”(t) + 2x(t) + 3x(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解：解： 利用线性系统的叠加性和齐次性和微分性利用线性系统的叠加性和齐次性和微分性 令令(t) 单独输入时的输出为单独输入时的输出为h1(t) ,即：即： h1”(t)+5h1(t)+6h1(t)= (t

15、)则有则有 y(t)= h1”(t)+2h1(t)+3h1(t) (t) + (3e2t 6e3t)(t)由例由例1的结果知：的结果知：h1(t)=( e-2t - e-3t)(t) 当微分方程的右端包含高阶冲激函数时，可先按右端只为冲激当微分方程的右端包含高阶冲激函数时，可先按右端只为冲激函数的方法求出其响应，再根据线性系统的叠加性和微分性质求函数的方法求出其响应，再根据线性系统的叠加性和微分性质求解系统的冲激响应。解系统的冲激响应。2.3 单位的冲激响应描述1. 冲激响应信号与系统分析（第2版）电子教案30由单位阶跃函数由单位阶跃函数(t) 所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位

16、单位阶跃响应阶跃响应，简称阶跃响应，记为，简称阶跃响应，记为g(t)。H tg( ) t 系统方程的右端将包含阶跃函数系统方程的右端将包含阶跃函数 (t) ，所以除了所以除了齐次解外，还有特解项（齐次解外，还有特解项（1 1零阶微分项的系数）。零阶微分项的系数）。ttgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 与与(t) 为微积分关系，故为微积分关系，故冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应的关系 求解冲激响应需确定求解冲激响应需确定y(0+)，求解阶跃响应需确定特解。求解阶跃响应需确定特解。2.3 单位的冲激响应描述2. 阶跃响应信号与系统分析（第2版）电子教案31例例2.3.

17、3 系统的微分方程为系统的微分方程为求出系统的阶跃响应和冲激响应。求出系统的阶跃响应和冲激响应。( )3 ( )2 ( )( )2 ( )y ty ty tx tx t 解：（解：（1）求单位阶跃响应）求单位阶跃响应 gx(t)( )3( )2( )( )xxxg tg tg tt(0 )(0 )0,(0 )(0 )0 xxxxgggg121,2 特解为特解为122121( )() ( )2ttxg tC eC et212( )(2) ( )ttxg tC eC et 12102CC1202CC 1211,2CC 211( )() ( )22ttxg teet 2.3 单位的冲激响应描述2.

18、阶跃响应信号与系统分析（第2版）电子教案32211( )() ( )22ttxg teet （2）求阶跃响应）求阶跃响应g(t)2( )( )2( )( 321) ( )ttxxg tg tg teet （3）求冲激响应）求冲激响应h(t)2( )( )(34) ( )tth tg teet2.3 单位的冲激响应描述2. 阶跃响应信号与系统分析（第2版）电子教案33信号与系统分析（第2版）电子教案34（1）信号的时域分解）信号的时域分解 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tptf2.4 卷积1. 卷积

19、公式信号与系统分析（第2版）电子教案35 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度宽度为，用为，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，用宽度为，用p(t + +)表示表示为为：nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftff ( - - ) p(t + + )任意信号任意信号f(t)可以表示为冲激信号之加权积分

20、可以表示为冲激信号之加权积分卷积卷积2.4 卷积1. 卷积公式信号与系统分析（第2版）电子教案36 已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数x1(t)和和x2(t)，则定义积分则定义积分 12( )( )()x txx td为为x1(t)与与x2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 x(t)= x1(t)*x2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 2.4 卷积1. 卷积公式信号与系统分析（第2版）电子教案37LTI系统LTI系统零

21、状态零状态y (t)x (t)根据根据h(t)的定义：的定义： (t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)x()(t - -)由齐次性：由齐次性：x () h(t - -)由叠加性：由叠加性：( ) ()dxt ( ) ()dxh tx (t)y (t)( )( ) ()dy txh tLTI系统的零状态响应是激系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积励与冲激响应的卷积。（1 1）零状态响应）零状态响应2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案38由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会

22、有所变化。积的积分限会有所变化。 积分限由积分限由 的区间决定。的区间决定。( ) ()0 xh t( )( ) ( ), ( )( ) ( )x tx tt h th tt如果如果( )( ) ( ) () ()y txh ttd 则则( ) () ( ) ()xh ttd 00tt 00 t( )()t ( )的特点：宗量的特点：宗量( )0时存在，时存在，10( ) ()d ,0( ) ( )* ( ) ( )0,0txh ttx tth ttt（2 2）定）定 的区间和的区间和t的区间（关键）的区间（关键）2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案39解解 23()30

23、0( )( )* ( )( ) ()deedee dtttty th tx thx t3230ee(ee) ( )ttttt例例2.4.1 已知系统的冲激响应已知系统的冲激响应)(e)(2ttht时的响应时的响应y(t)。 )(e)(3ttxt，求输入，求输入例例2.4.2 已知系统的冲激响应已知系统的冲激响应2( )3e( )th tt时的响应时的响应y(t)。 ( )2 (2)x tt，求输入，求输入解解 2222(2)0( )( )* ( )3e( ) 2 ( - -2)d6ed31 e (2)tty th tx ttt 2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案40例例

24、2.4.3 已知一已知一LTI系统的输出为系统的输出为 ttxtyd) 1(e)()(2求该系统的单位冲激响应，并说明该系统的因果性。求该系统的单位冲激响应，并说明该系统的因果性。 解解 2()221( )e(1)de1e1tttty txtx ttx t系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应 21e1th tt该系统是因果系统该系统是因果系统2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案41（3 3）卷积的图解说明）卷积的图解说明1212( )*( )( )()x tx txx td卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步： 换元换元： t换为换为得得 x1()，x2() 反转平移

25、反转平移：由：由x2()反转反转 x2()右移右移t x2(t-) 乘积乘积：x1() x2(t-) 积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。 注意：注意：t为参变量。为参变量。2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案42)30(2)(1011)(21 tttftttfOt tf1111 Ot tf2323O 2f3 23O tf223O 1f111 3 tt t tt2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案43O 231 1浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移动的距离移动的距离t =0 f2(t- )

26、未移动未移动t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 从从左左向向右右移移动动对对应应到到从从 tft2, 1f-113 tt tf2 tf22.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案44O 1f111 3 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案45O 1f111 3 tt tf2 向右移向右移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，1 t d)()()(211

27、 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt1 1tt 即即-1 t 12.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案46O 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 t 2 tttg d21)(112.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案47O 1f111 3 tt tf2即即2 t 4 1313tt224d)(21)(213 ttttgt 2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案48O 1f111 3 tt tf2即即t 4t- -3 1 0 tg2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案49 ttttt

28、tttttg其他其他04222421114124)(22Ot tf1111 Ot tf2323)(tgtO2421 12.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案50 tf1 tf2 A,BA,B C,DC,D A+C,B+DA+C,B+D tg一般规律：一般规律：上限上限下限下限 tf1 tf2当当 或或 为非连续函数时，卷积需分段，积分限为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。分段定。 021的范围（区间）确定。的范围（区间）确定。由由 tff(1)(1)积分上下限积分上下限(2)(2)卷积结果区间卷积结果区间t t- -1 tf2 tg1 tf1034+12.4 卷积2.

29、 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案51图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例2.4.5：f1(t)、 f2(t)如图所示，如图所示，已知已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1

30、(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为面积为0）2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案52例例2.4.6 f (t) ,h(t) 如图所示 求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图解法 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故

31、 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d21)(221tttytf0h( )f (t - )20132.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案53求求 。 ),1()()(tttx。)2()(2)(ttth)(*)()(thtxty例例2.4.7 已知已知2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案54(1) t 0，0

32、)(ty解解2.4 卷积2. 卷积计算求求 。 ),1()()(tttx。)2()(2)(ttth)(*)()(thtxty例例2.4.7 已知已知信号与系统分析（第2版）电子教案55(1) t 0，(2) 0t 1，ttyt2d21)(00)(ty解解2.4 卷积2. 卷积计算求求 。 ),1()()(tttx。)2()(2)(ttth)(*)()(thtxty例例2.4.7 已知已知信号与系统分析（第2版）电子教案56(1) t 0，(2) 0t 1，ttyt2d21)(0(3) 1t 2，2d21)(10ty0)(ty解解2.4 卷积2. 卷积计算求求 。 ),1()()(tttx。)2

33、()(2)(ttth)(*)()(thtxty例例2.4.7 已知已知信号与系统分析（第2版）电子教案57(1) t 0，(2) 0t 1，ttyt2d21)(0(3) 1t 2，2d21)(10ty(4) 2t 3，62d21)(12ttyt0)(ty解解2.4 卷积2. 卷积计算求求 。 ),1()()(tttx。)2()(2)(ttth)(*)()(thtxty例例2.4.7 已知已知信号与系统分析（第2版）电子教案58(1) t 0，(2) 0t 1，ttyt2d21)(0(3) 1t 2，2d21)(10ty(4) 2t 3，0)(ty0)(tyttttttty其它032622121

34、02)(于是于是解解2.4 卷积2. 卷积计算求求 。 ),1()()(tttx。)2()(2)(ttth)(*)()(thtxty例例2.4.7 已知已知信号与系统分析（第2版）电子教案59例例2.4.8 已知系统的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应)(e)(ttht,输入信号如右图所示，求系统响应输入信号如右图所示，求系统响应 。)(ty解解 输入信号为输入信号为tttttx其余0101011)(用下式计算响应用下式计算响应 d)()()(*)()(thxthtxty(1) t -1 区间区间 0)(ty2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案60例例2.4.8 已知系统

35、的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应)(e)(ttht,输入信号如右图所示，求系统响应输入信号如右图所示，求系统响应 。)(ty解解 输入信号为输入信号为tttttx其余0101011)(用下式计算响应用下式计算响应 d)()()(*)()(thxthtxty(2) -1t 0 区间区间 )1(11111)(e)ee (e ) 1(edee ) 1(ede ) 1(ede ) 1()(tttttttttttttty(1) t -1 区间区间 0)(ty2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案61例例2.4.8 已知系统的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应)(e)(ttht,输

36、入信号如右图所示，求系统响应输入信号如右图所示，求系统响应 。)(ty解解 输入信号为输入信号为tttttx其余0101011)(用下式计算响应用下式计算响应 d)()()(*)()(thxthtxty(2) -1t 0 区间区间 (3) 0t 1 区间区间 tttttttye ) 1e (1) 1e (eedede ) 1()(110)(01)(1) t -1 区间区间 0)(ty)1(e)(ttty2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案62例例2.4.8 已知系统的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应)(e)(ttht,输入信号如右图所示，求系统响应输入信号如右图所示，求

37、系统响应 。)(ty解解 输入信号为输入信号为tttttx其余0101011)(用下式计算响应用下式计算响应 d)()()(*)()(thxthtxty(2) -1t 0 区间区间 (3) 0t 1 区间区间 tttttye ) 1ee () 1e (eedede ) 1()(11110)(01)(1) t -1 区间区间 0)(ty)1(e)(tttyttye ) 1e (1)(12.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案63例例2.4.8 已知系统的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应)(e)(ttht,输入信号如右图所示，求系统响应输入信号如右图所示，求系统响应 。)(ty

38、解解 输入信号为输入信号为tttttx其余0101011)(用下式计算响应用下式计算响应 d)()()(*)()(thxthtxty(2) -1t 0 区间区间 (3) 0t 1 区间区间 110011e ) 1ee (e ) 1e (1e0)(11) 1(ttttttyttt(1) t -1 区间区间 0)(ty)1(e)(tttyttye ) 1ee ()(1ttye ) 1e (1)(1故响应为故响应为 2.4 卷积2. 卷积计算信号与系统分析（第2版）电子教案64信号与系统分析（第2版）电子教案65 d x ttxtx t x ttx t ttt 00ttttt2.5 卷积的性质1.

39、与冲激函数的卷积信号与系统分析（第2版）电子教案66证明：证明：)()()()(txththtxd)()()()(thxthtxd d)(h)t ( x)(h)t ( xt令)()(txth注：两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便注：两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便.在系统在系统分析中，卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为分析中，卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为h(t)的的LTI系统系统对输入对输入x(t)的响应与一个单位冲激响应为的响应与一个单位冲激响应为x(t)的的LTI系统对输入系统对输入h(t)的响应是一样的的响应是一样的.2.5 卷积的性质2. 交换律、分

40、配律、结合律信号与系统分析（第2版）电子教案67)()()()()()()(2121thtxthtxththtxx(t)h1(t)h2(t)()()(21ththtx2.5 卷积的性质2. 交换律、分配律、结合律信号与系统分析（第2版）电子教案68)()()()(*)()(2121ththtxththtx)(*)(*)(12ththtx h1(t) h2(t)x(t)()()(21ththtx2.5 卷积的性质2. 交换律、分配律、结合律信号与系统分析（第2版）电子教案69)()(*)(tythtx( )( )( ) ()( ) ()( )x ttxtdxt dx t 0000( )()( )

41、 ()( ) ()()x tttxttdxttdx tt 12121212()()() ()() ()()x t tt txtt tdxtt tdx t tt )()(*)()(*)(211221tttytthttxtthttx)()(*)(11ttythttxh(t)h(t-t2)h(t)h(t-t2)x(t)y(t)x(t)y(t-t1)x(t-t1)x(t-t1)y(t-t1-t2)y(t-t2)时不变性质时不变性质2.5 卷积的性质3. 时间移位信号与系统分析（第2版）电子教案7012121122()()()()bbaababa2.5 卷积的性质4. 卷积后信号的长度信号与系统分析（第

42、2版）电子教案71dd ( )d ( ) ( )( )( )( )dddx th tx th th tx tttt两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的卷两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的卷积。特别地：积。特别地：(1)(1)d ( )d ( )( )( )( )( )( )ddx tx ttx ttx tttt( )( )( )x ttx t( )( )( )( )( )kkx ttxt( )( )00( )()()kkx tttxtt对冲激偶：对冲激偶：推广：推广：2.5 卷积的性质5. 微积分性质信号与系统分析（第2版）电子教案72(1)( 1)(

43、 1)(1)( )( )( )( )( )( )x th txthtx tht证明：证明：(1)( 1)(1)( 1)(1)( 1)(1)( 1)(1)( 1)( 1)(1)( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )yty tx th tx th txth tx thtx thtx tht( )()()( )( )( )( )( )( )( )iiiix th txthtx tht推论：推论：用处：如果相卷积的两个信号之一是奇异信号，可进行微积分变成用处：如果相卷积的两个信号之一是奇异信号，可进行微积分变成(t),另一个信号只需单独做相反的积微分

44、，使卷积运算变成微积分运算另一个信号只需单独做相反的积微分，使卷积运算变成微积分运算 . ( )( )d( )d ( )( ) ( )d tttxhxh tx th特别地：（与阶跃函数的积分）特别地：（与阶跃函数的积分）)(d )()()(1(txxt*tx)t2.5 卷积的性质5. 微积分性质信号与系统分析（第2版）电子教案73例例2.5.1： 求求 )2(*) 1()(ttty解：解： 根据移位性质和微积分性质，有根据移位性质和微积分性质，有 )3()3()3( )3(*)()3(*)() 12(*)()(3)1()1(ttdttttttttyt2.5 卷积的性质5. 微积分性质信号与系统

45、分析（第2版）电子教案74例例2.5.2： 已知系统的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应)(e)(ttht图示，求系统响应图示，求系统响应 y (t) .解：解： 输入信号为：输入信号为：tttttx其余0101011)() 1()() 1() 1()() 1() 1()1()()() 1()1()1()2()2(ttttttttttttt) 1()() 1( )()()()1()2()2(ththththtxty)()e1 ( )(de d)(e)(0)1(ttthttt)()e1( )()de(1)(0)2(tttthtt) 1()e1 ()()e1() 1()e()()1()1(ttttttyttt根据卷积的微积分性质，得系统响应根据卷积的微积分性质，得系统响应:,输入信号如输入信号如x(t)t11O-12.5 卷积的性质5. 微积分性质