第2章自动控制系统的数学模型

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1、第2章第1页EXIT2022年年5月月31日日第2章第2页EXIT2022年年5月月31日日第2章第3页EXIT2022年年5月月31日日数学模型数学模型1.定义定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。模型。 2.为什么要建立数学模型：为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分够的，希望能够从理论

2、上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。型。它是分析和设计系统的依据。第2章第4页EXIT2022年年5月月31日日 另一个原因：另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的

3、量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进行进行仿真仿真研究）。研究）。第2章第5页EXIT2022年年5月月31日日3.表示形式表示形式 （经典控制理论中最常用的）（经典控制理论中最常用的） a.微分方程；微分方程；b.传递函数传递函数； c.频率特性频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统微分方程微分方程传递函数传递函数频率

4、特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换同一个系统，可以选用不同的数学模型，同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。研究频域响应时则要用频率特性。第2章第6页EXIT2022年年5月月31日日4.建立方法建立方法a.分析计算法分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型而建立数学模型适用于简单的系统。适用于简单的系统。b.

5、工程实验法工程实验法 工程实验法是利用系统的输入工程实验法是利用系统的输入-输出信号来建立数学模输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。方法。黑盒黑盒输入输入输出输出第2章第7页EXIT2022年年5月月31日日 但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况实际控制系统的

6、数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。 本章只讨论解析法建立系统的数学模型本章只讨论解析法建立系统的数学模型第2章第8页EXIT2022年年5月月31日日第2章第9页EXIT2022年年

7、5月月31日日2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立一般步骤一般步骤 （1）分析元件的工作原理和在系统中的作用，）分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入确定元件的输入量和输出量量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。变量。 （2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分列出微分方程方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统

8、的牛顿。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。定律和热力学定律等等。 （3）消去中间变量消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。关系的微分方程，即元件的数学模型。注：注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。均按降阶顺序排列。第2章第10页EXIT2022年年5月月31

9、日日 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。和转动（相应的位移称为角位移）两种。例例 一个由弹簧一个由弹簧-质量质量-阻尼器组成阻尼器组成的机械平移系统如图所示。的机械平移系统如图所示。m为物为物体质量，体质量，k为弹簧系数，为弹簧系数，f 为粘性为粘性阻尼系数，外力阻尼系数，外力F(t)为输入量，位为输入量，位移移x(t)为输出量。列写系统的运动为输出量。列写系统的运动方程。方程。 xmF

10、k2.1.1 机械系统机械系统第2章第11页EXIT2022年年5月月31日日解解 在物体受外力在物体受外力F的作用下，质量的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力。设外作用力F为输入量，位为输入量，位移移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为 )()()()(22tFtkxdttdxfdttxdmkxdtdxfF

11、dtxdm22xmFkk和和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。第2章第12页EXIT2022年年5月月31日日2.1.2 电气系统电气系统w 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容电容(无源器件无源器件)组成的电气网络称为无源网络