线性代数第一章§1.4-1.6,习题

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1、一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换二、对换与排列奇偶性的关二、对换与排列奇偶性的关系系定理定理1: 一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇排列改变奇偶性偶性.对换对换:在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余元素不动其余元素不动.相邻对换相邻对换:将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调.推论推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排偶排列调成标准排列的对换次数为偶数列调成标准排列的对换次数为偶数.1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的一、行列式的6条性质条性质行列式行列式DT称为

2、行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 记记,212222111211nnnnnnbbbbbbbbbnnppptTbbbD21211即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),所以所以, DT = D，结论成立。结论成立。 说明说明: 行列式中行与列具有同等的地位。行列式中行与列具有同等的地位。性质性质1: 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, 即即DT = D.证明证明:nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121n

3、naaannaaa2112nnTaaaD2211 .12121Daaanppptn设行列式设行列式nnnpnjnjpjinipinpaaaaaaaaaaaaD1111111互换互换 i, j (i j)两行得到两行得到 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列), 行列式变号行列式变号.nnnpninipijnjpjnpaaaaaaaaaaaaD11111111nnnpnjnjpjinipinpbbbbbbbbbbbb1111111于是于是njinjinpjpipppppptbbbbD111)(11njinjinpipjpppppptaaaa111)(1其中，其中， 当当 k i, j 时时,

4、bkp= akp; 当当 k = i, j 时时, bip= ajp, bjp= aip; nijnjinpjpipppppptaaaa111)(1nijnijnpjpipppppptaaaa111)(1) 1(D 推论推论: 如果行列式如果行列式D有两行有两行(列列)完全相同完全相同, 则则D=0. 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同一中所有的元素都乘以同一数数k, 等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.4321432143214321dkdddckcccbkbbbakaaa例如例如:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子可以中所有元素的公因子可以提到

5、行列式符号的外面提到行列式符号的外面.4321432143214321ddddccccbbbbaaaak性质性质5: 若行列式的某一行若行列式的某一行(列列)的元素都是两数之和的元素都是两数之和, 性质性质4: 行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例,则则D=0则则D等于两个行列式之和等于两个行列式之和.例如例如aabbababcdcdcd, 1111312cba例题例题:已知已知311231323122cba求：求：32性质性质6: 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的各元素乘以同一数然的各元素乘以同一数然后加到另一行后加到另一行 (列列)对应的元素上去对应的

6、元素上去, 行列式不变行列式不变.123123123112233123123aaaaaabbbbkabkabkacccccc例如例如 引入记号引入记号: 用用 ri 表示第表示第 i 行行, ci 表示第表示第 i 列列.因此因此 性质性质2交换行列式的第交换行列式的第 i, j 两行两行(列列), 记作记作ri rj ( ci cj ); 性质性质3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以数乘以数k, 记作记作ri k ( ci k );性质性质6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同一的各元素乘以同一数数 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应的元素上去对应的元

7、素上去, 记作记作 ri + rj k ( ci + cj k ); 二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法计算行列式常用方法: 利用性质利用性质2,3,6, 特别是性质特别是性质6把行列式化为把行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式, 从而从而, 较容易的计算较容易的计算行列式的值行列式的值.14753240297333211D例例1: 计算计算4阶行列式阶行列式解解:14753220201003211Dr2 + 3r1r3 2r1147534020010032115120402001003211r4 3r1r2 r35120010040203211r4 + r2r4 +

8、r3110001004020321110000100402032112.1213311222111120001300011D例例2: 计算计算5阶行列式阶行列式Dr1 + r2c4 +c31213311222111120001300002.2313311222001120001300002c5 +c31313301222001120001300002c5 c4=-2解：解：例例3: 设设,0111111111111nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD ,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD 证明证明: D = D1D2. 证明证明: 对对D1作行运算作行运

9、算 ri + t rj , 把把D1化为下三角形化为下三角形行列式行列式:;0111111kkkkkpppppD nnnnnqqqqqD1111120对对D2作列运算作列运算 ci+kcj , 把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式:,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 先对先对D的前的前k行作行运算行作行运算 ri+trj , 然后对然后对D的后的后n列列作列运算作列运算 ci+kcj , 把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式:故故, D = p11 pkk q11 qnn= D1D2.推广例推广例3的结论的结论: 设设,0*11111111nnnn

10、kkkkbbbbaaaaD,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD 则则D = D1D2.解解: 将第将第2, 3, , n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例: 计算计算 n 阶行列式阶行列式.abbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbnaD1111 babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna abbbabbbabbbbna1111)1( 第行的第行的-1倍加到倍加到2, 3, , n行得行得:111112001030100nDn例例 计算行列式计算行列式. )11 ( !000030000201111

11、122ninininniD解：解：0121111110001000100010001nnnaaaDaa 12(0)na aa 另外还有另外还有（形如形如 ，称为箭形（或爪形）行列式），称为箭形（或爪形）行列式）更一般的有更一般的有一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式nnnjninijinjaaaaaaaaa111111在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，ijjiijMA 1记记叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数