大学物理第5章刚体

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1、 刚体的平动可视为刚体的平动可视为质点质点的平动问题。的平动问题。1 1 刚体的定义刚体的定义刚体是一个刚体是一个质点系质点系，其内部，其内部任意两点之间距离任意两点之间距离在运动中始终在运动中始终不会不会改变改变。（有形状而无形变、理想模型。（有形状而无形变、理想模型、质点、质点）3 3 刚体的平动：内部两点间连线方向始终刚体的平动：内部两点间连线方向始终 不发生改变不发生改变刚体上所有的质点均绕同一直线做圆周运动，刚体上所有的质点均绕同一直线做圆周运动，则称刚体在则称刚体在转动转动，该直线称为，该直线称为转轴转轴。如果转。如果转轴固定，则称为轴固定，则称为定轴转动定轴转动。4 4 刚体的定

2、轴转动刚体的定轴转动2 2 刚体运动的基本形式：刚体运动的基本形式：平动和转动平动和转动，其他，其他形式的运动可看做是平动和转动的叠加形式的运动可看做是平动和转动的叠加 刚体在做定轴转动时，处于同一转动平面上的质点均刚体在做定轴转动时，处于同一转动平面上的质点均绕转心绕转心做做圆周圆周运动运动，且运动状态完全相同：角位移、角速度和角加速度。且运动状态完全相同：角位移、角速度和角加速度。所以所以角角量描述量描述适合于刚体的定轴转动。适合于刚体的定轴转动。rovrararvnt23 3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动ro转动平面转动平面转心转心 vararvntro4 4 角速度矢量和角加速度矢量角

3、速度矢量和角加速度矢量zzzz 刚体转动的角速度和角加速度不仅有大小还有方向，实际上是刚体转动的角速度和角加速度不仅有大小还有方向，实际上是一个一个矢量矢量。（角速度方向与直观的转动方向构成右手螺旋）。（角速度方向与直观的转动方向构成右手螺旋）角量和线量的关系也可以利用矢量关系来定义。角量和线量的关系也可以利用矢量关系来定义。 对定轴的力矩对定轴的力矩力矩是引起物体力矩是引起物体转动状态转动状态(用角动量描述用角动量描述)发生变化的原因。发生变化的原因。一、力矩 力力F 可以分解为平行于转轴的力可以分解为平行于转轴的力F F/和在转和在转动平面内的力动平面内的力F F，分力，分力F F/对刚体

4、的转动没对刚体的转动没有贡献，只有分力有贡献，只有分力F F才对刚体的转动状态才对刚体的转动状态有影响。有影响。写成矢量式子写成矢量式子( (只讨论定轴转动只讨论定轴转动) )sinrFhFMFrM力矩是矢量。在定轴转动中，力矩的方向总是沿着转轴，由力矩是矢量。在定轴转动中，力矩的方向总是沿着转轴，由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。 力矩沿着转动轴的方向，有正负之分，力矩沿着转动轴的方向，有正负之分，正力矩表示此力矩使刚体正力矩表示此力矩使刚体绕轴做逆时针方向转动绕轴做逆时针方向转动； 刚体受到多个力时的合外矩；刚体受到多个力时的合外矩； M = M1 + M2 + M = M1 + M2

5、 + . .具体计算采用标量式子具体计算采用标量式子 注意：合力矩不等于合力的力矩。注意：合力矩不等于合力的力矩。 作用力与反作用力的力矩之和为零；作用力与反作用力的力矩之和为零；推论：刚体内力矩之和为零。推论：刚体内力矩之和为零。讨论对点的力矩和对转动轴力矩的关系。讨论对点的力矩和对转动轴力矩的关系。力矩的说明力矩的说明 刚体在定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运刚体在定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。每一个动。每一个质点对轴的角动量质点对轴的角动量实际上就是实际上就是对转心的角动量对转心的角动量。即。即该质点该质点相对于转心的相对于转心的位置矢量与动量的矢量积

6、位置矢量与动量的矢量积。二、刚体对定轴的角动量vmrprL角动量的角动量的大小：大小：方向：方向： 右手螺旋定则右手螺旋定则 只有两个方向只有两个方向 L0, 0, L00sinsinrmvprLzLprdr刚体对定轴的角动量，就是刚体（质点系）每一个质点对轴的角刚体对定轴的角动量，就是刚体（质点系）每一个质点对轴的角动量的矢量和。动量的矢量和。iiLL 刚体的刚体的定轴角动量定轴角动量，大小等于，大小等于刚体的转动惯量与角速度的乘积刚体的转动惯量与角速度的乘积，方向，方向与角速度方向一致。与角速度方向一致。定义刚体的定义刚体的转动惯量转动惯量iiLL2iiiiiiiimrrmrvmrLozr

7、imivi)()(22iiiiiirmrmL)(2iiirmJJL vmp 三、转动惯量1 1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚体上各质点刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。乘积之和。2 2、说明、说明 转动惯量是转动惯量是标量标量； 转动惯量有可加性（广延量、强度量）；转动惯量有可加性（广延量、强度量）； 单位：单位：kgkgm m2 2 3 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算若质量连续分布若质量连续分布dmrJ2iiirmJ2若质量离散分布若质量离散分布 y rix z yi xi mi 3 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算

8、若质量连续分布若质量连续分布dmrJ2刚体对轴转动惯量的大小决定于刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素：即刚体的质量、质量对轴三个因素：即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置的分布情况和转轴的位置。一维一维dldm二维二维dSdm三维三维dVdmdmdl线密度线密度面密度面密度体密度体密度dlrJ2dSrJ2dVrJ2 例例1 1求长为求长为L L、质量为、质量为m m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：解：取如图坐标，取如图坐标，dm= dx12/2222mLdxxJLLC3/202mLdxxJLA例例2 2求质量为求质量

9、为m m、半径为、半径为R R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。直并通过圆心。ROdm222mRdmRdmRJ解：解： 例例3 3求长求质量为求长求质量为m m、半径为、半径为R R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。直并通过盘心。解：解：取取半径为半径为r宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环rdrdm2drrdmrdJ322403212RdrrdJJR2Rm221mRJ Rrdr 4 4、平行轴定理、平行轴定理( (了解内容了解内容) )假设刚体对过质心假设刚体对过质心C的转动轴的转动轴Zc有转动惯量有转

10、动惯量Jc 则则刚体对刚体对另一与另一与Zc平行且相距为平行且相距为d的轴的轴Z的的转转动惯量动惯量J为为2mdJJczCdczz说明说明：1)1)通过质心的轴线的转动惯量最小；通过质心的轴线的转动惯量最小；2)2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量，比平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量，比如考察棍子绕过质心和端点转动轴的转动惯量如考察棍子绕过质心和端点转动轴的转动惯量L/2czz2121mLJc2231)2(mLLmJJcz 四、转动定律dtLdM外JM 转动定律：转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的

11、转动惯量成反比。矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明：说明：1)1)合外力矩和转动惯量合外力矩和转动惯量都是相对于都是相对于同一转轴同一转轴而言的；而言的；2)2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定 轴转动问题的基本方程。轴转动问题的基本方程。JLJdtdJdtJddtLdM)(外 题目类型：题目类型：已知两个量求另一个量，比如已知外力矩已知两个量求另一个量，比如已知外力矩M M和转动惯量和转动惯量J J，求角加，求角加速度；或者反过来。速度；或者反过来。解题步骤：解题步骤：分析受力情况，力矩情况。分析受力情况