机械振动-西安交大版

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1、第二篇第二篇 机械振动机械振动与机械波与机械波广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如电路中的电流、电压的变化、如电路中的电流、电压的变化、电磁波中场强的变化、一年四季气温的变化等电磁波中场强的变化、一年四季气温的变化等) )在某一数在某一数值附近反复变化。值附近反复变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。(如树叶的摆动、鼓膜的振动、心脏的跳动、晶体中原如树叶的摆动、鼓膜的振动、心脏的跳动、晶体中原子的振动等。）子的振动等。）机械振动是最直观、最基本的振动形式机械振动是最直观、最基本的振动形式6-1 简谐振动的动力学特征简谐振动

2、的动力学特征简谐振动简谐振动最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。 简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。按余弦（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 kxOm6.1.1 简谐振动简谐振动一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 k

3、xOmkxF 22dtxdmkx mk 2 简谐振动微分方程简谐振动微分方程0222 xdtxd 令令:其通解为：其通解为：)tcos(Ax0 简谐振动的振动方程简谐振动的振动方程简谐振动的特征：简谐振动的特征：kxF 力学方程力学方程1.0222 xdtxd 动力学方程动力学方程2.)tcos(Ax0 运动学方程运动学方程3.判断系统作简谐振动的依据判断系统作简谐振动的依据0222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin sinmglM 二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似_单摆单摆mgldtdml222摆球对摆球对C点的力矩点的力矩 m

4、glM l/g 2 简谐振动微分方程简谐振动微分方程简谐振动的振动方程简谐振动的振动方程)cos(0tm令令:gmfTCOl单摆作小角度摆动时：单摆作小角度摆动时：复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22sindtdJmghJmgh2)cos(0tm22dtdJmgh令令:其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 6.1.2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学简谐振动的微分

5、方程简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程kxOm)tsin(Av0 根据运动方程可得任意时刻的速度和加速度：根据运动方程可得任意时刻的速度和加速度：速度：速度：加速度：加速度：)cos(0tAa2二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始条件初始条件00 cosAx 00sinAv2020)(vxA频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期

6、 、频率、圆频率频率、圆频率 21 T角频率角频率 : : 22 T周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T物体在物体在2 2秒时间内所作的完全振动的次数，用秒时间内所作的完全振动的次数，用表示，单位为弧度表示，单位为弧度/ /秒秒( (rad.srad.s-1-1) )。对弹簧振子对弹簧振子kmT 2 mk 21 mk 固有角频率固有角频率 固有周期固有周期 固有频率固有频率单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghJT2Jmgh21Jmgh)tsin(Av0 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位

7、相000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、位相和初位相位相和初位相)cos(0tAx位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态0 t或或:)(tan0010 xv位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 )cos(1011tAx)cos(2022

8、tAx设有设有:12toTxx1x2例例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。因此因此 , 此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。以平衡位置以平衡位置O为原点为原点弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置解：解：求平衡位置求平衡位置mgkx 0kmgx 0kxkxkxmgxxkmgF 00)(m0l0 xxxofk例例: :如图如图m=2m=21010-2-2kg,kg, 弹簧的静

9、止形变为弹簧的静止形变为 L=9.8cmL=9.8cm x x0 0=-9.8cm=-9.8cm, , v v0 0=0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程； (2) (2) 若取若取x x0 0=0=0，v v0 000为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程, ,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 设振动方程为设振动方程为)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 由初条件得由初条件得 ,)xv(arctg0000 mvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0= -0.0980 cos 00 x0

10、=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0= -A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变Hzlg6 . 1212固有频率固有频率XOmx以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(c

11、oskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数6.1.4 简谐振动的能量简谐振动的能量机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒mk2动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒对弹簧振子对弹簧振子kmT 2 mk 21111kkk结论：弹簧串结论：弹簧串联联