机械振动-黄琼

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1、第三篇第三篇 机械振动机械振动与机械波与机械波教学重点：教学重点：1、理解谐振动的动力学特征、理解谐振动的动力学特征2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法立方法3、旋转矢量法、旋转矢量法4、理解谐振动的能量特征、理解谐振动的能量特征广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近周期性变化。数值附近周期性变化。 对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。)()(Ttx

2、tx 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动复杂振动复杂振动 = 简谐振动简谐振动第一节第一节 简谐振动简谐振动 作机械振动的物体若被看作质点，通常称作振子。作机械振动的物体若被看作质点，通常称作振子。 振子所受合力为零的位置叫做振子的平衡位置。振子所受合力为零的位置叫做振子的平衡位置。 振子相对于平衡位置的位移是时间的余弦振子相对于平衡位置的位移是时间的余弦( (或正弦或正弦) )函数的函数的机械振动叫做机械振动叫做谐振动谐振动。 所谓所谓“谐谐”，是，是“和谐、悦耳和谐、悦耳”之意，源自乐器振动发出之意，源自乐器振动发出的声音多为和谐、悦耳之音

3、。的声音多为和谐、悦耳之音。 在振动学中，振动系统所受外界施加的摩擦力、介质粘滞在振动学中，振动系统所受外界施加的摩擦力、介质粘滞力（如空气阻力）等叫做阻尼。力（如空气阻力）等叫做阻尼。 谐振动分为两类谐振动分为两类：不受摩擦力、粘滞力作用的无阻尼谐振动叫做简单谐不受摩擦力、粘滞力作用的无阻尼谐振动叫做简单谐振动或振动或简谐振动简谐振动。所谓。所谓“简单简单”，意指振子不受阻尼；，意指振子不受阻尼；另一类是有阻尼受迫稳定振动。本章主要研究简谐振另一类是有阻尼受迫稳定振动。本章主要研究简谐振动，并简要介绍阻尼振动、受迫稳定振动和共振。动，并简要介绍阻尼振动、受迫稳定振动和共振。题目解析题目解析一

4、、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征简谐振动是最简单最基本的线性振动。简谐振动是最简单最基本的线性振动。从动力学观点看：从动力学观点看：简谐振动简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。衡位置的运动。 平衡位置平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于运动方向受的力）等于0，则此位置称为平，则此位置称为平衡位置。衡位置。 xkf此为从动力学的观点定义的简谐振动。此为从动力学的观点定义的简谐振动。线性回复力线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或

5、角位移）成正比，且指向衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。平衡位置，则称此作用力为线性回复力。若以平衡位置为原点，以若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡表示质点相对于平衡位置的位移，则位置的位移，则一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 kxOm问：弹簧振子是否问：弹簧振子是否在做简谐振动？在做简谐振动？kxOmmk 2 简谐振动简谐

6、振动微分方程微分方程0222 xdtxd kxF 0222 xdtxd 22dtxdmkx 简谐振动的另一种普遍定义：简谐振动的另一种普遍定义：若质点的运动学方程可以归纳为：若质点的运动学方程可以归纳为：其中其中 为决定于系统本身固为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。有性质，则质点做简谐振动。二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似 长为的细线一端系着质量为的小球，另一端固定悬挂起来，小球静止位置O就是小球的平衡位置，如右图所示。 若小球左右摆动时细线（摆线）偏离垂直位置的角度小于5度，这种振动装置叫做单摆。 作为一个振动系统，单摆包括地球。gmfTCO单摆单摆0222 dtd结论结论

7、：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 2200 当当 时时 sin sinmglM gmfTCOmgldtdml222摆球对摆球对C点的力矩（取逆时针方向为正）点的力矩（取逆时针方向为正）JMmglM l/g 2 简谐振动动画 http:/ 小于小于5度度 ，这个装置就叫做复摆。，这个装置就叫做复摆。作为一个振动系统，复摆包括地球。作为一个振动系统，复摆包括地球。 gmhCO复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：（1 1）、（）、（2 2

8、）都说明复摆的小角度摆动振动）都说明复摆的小角度摆动振动是简谐振动。是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdJmghJmgh2设：复摆对此固定轴的转动惯量为设：复摆对此固定轴的转动惯量为J sinmghM kM (1)(2)其中：（准）弹性系数其中：（准）弹性系数 ， 刚体质心偏离平衡位置的角位移。刚体质心偏离平衡位置的角位移。mghk 小结：回顾简谐振动定义n从上述振动模型可以看出，在不计阻尼条件下，看似不同的振动系统的振子所受合力都可以归结为：n简谐振动定义：n 振子所受合力与位移成正比且反向的无阻尼振动，或刚体所受合力矩与角位移成正比且反向的无阻尼振动叫做简谐振动。kxf kM

9、 其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 二二 简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)2sin()cos(00tt20 )tsin(x 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 如何由初始条件求振幅：如何由初始条件求振幅：00 cosAx 0

10、0 sinAv 2020)v(xA 频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率 21 T角频率角频率 22 T周期周期T ：当振子完成一次往返回到原来状态，即位当振子完成一次往返回到原来状态，即位置和速度都恢复到原来的值时，称振子完成了一置和速度都恢复到原来的值时，称振子完成了一次全振动。振子完成一次全振动的时间叫做周期，次全振动。振子完成一次全振动的时间叫做周期，记作记作T 00 )Tt (cosA)tcos(A 2 T固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率频率或周期为振动系统所固有是简谐振动的重要性质。频率或周期为

11、振动系统所固有是简谐振动的重要性质。 、T、T对弹簧振子对弹簧振子kmT 2 mk 21 mk 单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghJT2Jmgh21Jmgh、T都决定于质量、劲度系数、摆长、转都决定于质量、劲度系数、摆长、转动惯量等反映振动系统本身特征的一动惯量等反映振动系统本身特征的一些物理量。些物理量。)tsin(Av0 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、相位和初相位相位和初相位)tcos(Ax0 相位，决定谐振动物体的运动状态相位，决定谐振动物体的运动状态0 t三式中任选两式可三式中任选两