正弦稳态响应

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1、一、正弦电流激励的一、正弦电流激励的RC电路分析电路分析图图 10-9 我们现在讨论图我们现在讨论图10-9所示所示RC电路，电路原来已经达到电路，电路原来已经达到稳定状态，在稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos( t+i)作用于作用于RC电路，求电容电压电路，求电容电压uC(t)的响应。的响应。 首先建立首先建立t0电路的微分方程如下电路的微分方程如下: )710(0)cos(1ddiSmCCttIuRtuC 对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解uCh(t)为为 RCtstKKtu Chee)( 微分方程特解微分方程特解uCp(t)的

2、形式与电流源相同，为同一频率的形式与电流源相同，为同一频率的正弦时间函数，即的正弦时间函数，即 )cos()(uCmCptUtu 为了确定为了确定UCm和和u，可以将上式代入微分方程中，可以将上式代入微分方程中 求解得到求解得到 )910( )(arctan)810()/1 (iu222SmCmCRRCIU)710(0)cos(1ddiSmCCttIuRtuC)(cos)cos(1)sin(iSmuCmuCmtItURtCU)cos()(uCmCptUtu 微分方程的完全解为微分方程的完全解为 )1010( ) 0( ) cos(e)(uCm CttUKtuRCt 可以求得可以求得 uCmCc

3、os)0(UuK 最后得到电容电压最后得到电容电压uC(t)的全响应为的全响应为 )1110( )0( )cos(ecos)0()(uCm uCmCCttUUutuRCt正弦稳态响应暂态响应 本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的波形如图所示。曲线波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当表示通解，它是电路的自由响应，当RC0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态响应。曲线零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化，表示特解，它按照正弦规律变化，其角频率与

4、激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后，其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后，它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。图图 10-10二、二、 用相量法求微分方程的特解用相量法求微分方程的特解)eRe()cos()()eRe()cos()(jCmuCmCpjSmiSmSttUtUtuItIti 求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的特解特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算数微分

5、方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算工具。现将这种相量法介绍如下：工具。现将这种相量法介绍如下： 代入微分方程代入微分方程 )eRe()eRe(R1)eRe(ddjSmjCmjCmtttIUUtC 取实部与微分运算的次序交换取实部与微分运算的次序交换)eRe(e)1(jRe)eRe()eRe(1)e(jRejSmjCmjSmjCmjCmtttttIURCIURUC 由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相等，由此得到一个复系数的代数方程等，由此得到一个复系数的代数方程 )1210()1(jSmCmIURC 求解此代数方程得到电容电压相

6、量为求解此代数方程得到电容电压相量为 uCmSmCm/1jURCIU 电容电压的振幅和初相分别为电容电压的振幅和初相分别为 222SmCm)/1 (RCIU)tan(arciuCR 这与式这与式(108)和和(109)完全相同。计算出电容电压的完全相同。计算出电容电压的振幅和初相，就能够写出稳态响应振幅和初相，就能够写出稳态响应 )cos()(uCmCptUtu 从以上叙述可知，从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将用相量表示正弦电压电流后，可将微分方程转换为复系数代数方程微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的，求解此方程得到特解的相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式

7、。相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。 我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出先写出n阶阶常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流，常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流，将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。 例例10-4 图图10-9所示电路中，已知所示电路中，已知R=1 , C=

8、2F, iS(t)=2cos(3t+45 )A, 试用相量法求解电容电压试用相量法求解电容电压uC(t) 的特解。的特解。 解：写出电路的微分方程解：写出电路的微分方程 )453cos(2dd2CCtutu图图 10-9 将正弦电流用相量表示将正弦电流用相量表示 )eRe()3cos()()eRe(2e)453cos(2)(j3CmuCmCpj3j45SttUtUtutti)eRe(2ee) 12(j3Rej345jj3CmttU 452) 1(j6Cm U 可以得到复系数代数方程可以得到复系数代数方程 代入微分方程中代入微分方程中)453cos(2dd2CCtutu 求解此代数方程得到电容电

9、压相量求解此代数方程得到电容电压相量 V5 .35329. 054.8008. 6452)j6(1452CmU 由此得到电容电压的瞬时值表达式由此得到电容电压的瞬时值表达式 )V5 .353cos(329. 0)(Cpttu 这是图这是图109所示电路中电容电压所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电的特解，也是电容电压的正弦稳态响应。容电压的正弦稳态响应。 452) 1(j6Cm U例例10-5 图图1011所示所示RLC串联电路中，已知串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30 )V, R=1 , L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压试用相量法求电容电压uC(t)和电

10、感电流和电感电流iL(t)的特解。的特解。 解：以电容电压为变量列出电路的微分方程解：以电容电压为变量列出电路的微分方程 SCC2C2dddduutuRCtuLC图图 10-11 将方程中的将方程中的uS(t)=2cos(2t+30 )V和和uC(t)用相量表示用相量表示 )eRe( )eRe()eRe(dd)eRe(ddjSmjCmjCmjCm22ttttUUUtRCUtLC 对方程先求导，再取实部对方程先求导，再取实部 )eRe( )eRe()e)jRe()e)jRe(jSmjCmjCmjCm2ttttUUURCULC 得到复系数代数方程为得到复系数代数方程为 SmCmCmCm2)j ()

11、j (UUURCULC 求解代数方程，注意到求解代数方程，注意到 =2rad/s和和j2=-1，得到电容电，得到电容电压相量压相量 V1052j11302 1)j ( 5 . 0)j ( 5 . 03022CmU 根据根据 =2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式得到电容电压的瞬时值表达式 V)1052cos(2)(Cttu 代入代入R=1 , L=1H, C=0.5F得到得到 V302 1)j ( 5 . 0)j ( 5 . 0Cm2U 求得电容电流和电感电流的瞬时值表达式求得电容电流和电感电流的瞬时值表达式 A)152cos(2)1052cos(2dd5 . 0)()(CLttttiti

12、由于此二阶电路的两个固有频率都具有负实部，暂态由于此二阶电路的两个固有频率都具有负实部，暂态响应将随着时间的增加而衰减到零，以上计算的电容电压响应将随着时间的增加而衰减到零，以上计算的电容电压和电感电流的特解，也就是电路的正弦稳态响应。和电感电流的特解，也就是电路的正弦稳态响应。 V)1052cos(2)(Cttu图图 10-11三、正弦稳态响应三、正弦稳态响应)1310() cos(eee )()()(m21ph21 tXKKKtxtxtxtsntstsn s1、s2、sn是是n阶动态电路的固有频率。阶动态电路的固有频率。如果全部如果全部固有频率具有负实部固有频率具有负实部 (即处于左半开复

13、平面上即处于左半开复平面上)，则对于任，则对于任何初始条件，在具有相同频率何初始条件，在具有相同频率的正弦电压源和电流源激的正弦电压源和电流源激励下，电路中全部电压和全部电流随着励下，电路中全部电压和全部电流随着t将按指数规律将按指数规律趋于相同频率趋于相同频率的正弦波形。当这种情况发生时，称电路的正弦波形。当这种情况发生时，称电路处于正弦稳态。处于正弦稳态。 现在将上面的讨论推广到一般动态电路。具有相同频现在将上面的讨论推广到一般动态电路。具有相同频率率的一个或几个正弦信号激励的线性时不变动态电路，的一个或几个正弦信号激励的线性时不变动态电路，我们感兴趣的响应为我们感兴趣的响应为x(t)，则

14、，则x(t)可表为如下形式：可表为如下形式： 相量法求微分方程特解的方法与步骤如下：相量法求微分方程特解的方法与步骤如下： 1. 用用KCL，KVL和和VCR写出电路方程写出电路方程(例如例如2b方程，方程，网孔方程，结点方程等网孔方程，结点方程等)，以感兴趣的电压电流为变量，写，以感兴趣的电压电流为变量，写出出n阶微分方程。阶微分方程。 2. 用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将n阶微分阶微分方程转换为复系数代数方程。方程转换为复系数代数方程。 3. 求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电流的相求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电流的相量表达式。量表

15、达式。 4. 根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的瞬时值根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的瞬时值表达式。表达式。 以上步骤中，列出以某个电压或电流为变量的以上步骤中，列出以某个电压或电流为变量的n阶微阶微分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困难工作，电分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困难工作，电路越复杂，工作量越大。路越复杂，工作量越大。 为此，我们可以先画出电路的相量模型，用相量形式为此，我们可以先画出电路的相量模型，用相量形式的的KCL、KVL和元件和元件VCR直接列出复数的电路方程。直接列出复数的电路方程。 用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下：用相量法求解电路正弦

16、稳态响应的方法和步骤如下： 1. 画出电路的相量模型，用相量形式的画出电路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和和VCR直接列出电路的复系数代数方程直接列出电路的复系数代数方程。 2. 求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电流的相量表达式。流的相量表达式。 3. 根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的瞬时值表达式。瞬时值表达式。 用相量法分析正弦稳态响应的优点有：用相量法分析正弦稳态响应的优点有： 1. 不需要列出并求解电路的不需要列出并求解电路的n阶微分方程。阶微分方程。 2. 可以用分析电阻电路的各种方法和类似公式来分析可以用分析电阻电路的各种方法和类似公式来分析正弦稳态电路。正弦稳态电路。 3. 读者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能读者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能求得正弦电压电流的相量以及它们的瞬时值表达式。求得正弦电压电流的相量以及它们的瞬时值表达式。 4. 便于读者使用计算器和计算机等计算工具来辅助电便于读者使用计算器和计算机等计算工具来辅助电路分析。路分析。2002年春节摄于成都人民公园必作习题：第441页第十章：10 11 、10 12