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1、 微微分方程的基本概念分方程的基本概念 微分方程的解析解与数值解微分方程的解析解与数值解建立微分方程模型的基本方法建立微分方程模型的基本方法典型的建模案例简介典型的建模案例简介 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的或或，这样所得到变量之间的关系式就是，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型。 微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理、微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理、力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学、人力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学、人口预测等社会科学方面的应用则是在类比、假设等口预测等社会科学方面的应用则
2、是在类比、假设等措施下建立起来。措施下建立起来。 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 微分方程的解析解与数值解微分方程的解析解与数值解建立微分方程模型的基本方法建立微分方程模型的基本方法典型的建模案例简介典型的建模案例简介 求微分方程（组）的求微分方程（组）的解析解解析解命令命令: :记号记号: : 在表达微分方程时，用字母在表达微分方程时，用字母D表示求微分，表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分等表示求高阶微分. .任何任何D后所跟的字母为后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省。因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省。例如，微分方程例如，微分方程 022 dxy
3、d应表达为：应表达为：dsolve(D2y=0)例例1 1 求求 21udtdu 的通解的通解. .解解 输入命令：输入命令：dsolve(Du=1+u2,t)例例2 2 求微分方程的特解。求微分方程的特解。 15)0( , 0)0(029422yyydxdydxyd 解解: : 输入命令输入命令: : y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结结 果果 为为 : y =3e-2xsin（5x） 例例3 3 求微分方程组的通解求微分方程组的通解. . zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解解 输入命令输入命令 ：x,y,z=
4、dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t); 结结 果果 为：为：x =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) y =C1*exp(-2*t)+C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) z =C1*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)微分方程的数值解微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满
5、足规定精确度一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。计算的表达式。用用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解由待解方程写方程写成的成的m-m-文件名文件名ts=t0，tf，t0、tf为自为自变量的初变量的初值和终值值和终值函数的函数的初值初值ode23：组合的组合的2/3阶龙格阶龙格- -库塔算法库塔算法ode45：运用组合的运用组合的4/5阶龙格阶龙格-
6、 -库塔算法库塔算法自变自变量值量值函数函数值值用于设定误差限用于设定误差限( (缺省时设定相对误差缺省时设定相对误差10-3, , 绝对误差绝对误差10-6),命令为：命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差分别为设定的相对误差和绝对误差. .在解在解n个未知函数的方程组时，个未知函数的方程组时，x0和和x均为均为n维向维向量，量，m-文件中的待解方程组应以文件中的待解方程组应以x的分量形式写成。的分量形式写成。使用使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶
7、微分方程组。须等价地变换成一阶微分方程组。注意注意: :例例4 4)1(0)0( ; 2)0(0)1(1000222 xxxdtdxxdtxd解解: : 令令 y1=x，y2=y1 0)0(, 2)0()1(1000)1(211221221yyyyyyyy使用使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组地变换成一阶微分方程组。1 1、建立、建立m-m-文件文件vdp1000.m如下：如下： function dy=vdp1000(t,y)%y(1)=y1,y(2)=y2 dy=zeros(2,1);%dy=(0,0)T dy(1
8、)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2 2、取、取t0=0，tf=3000，输入命令：，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)1222121121000(1)(0)2,(0)0yyyyyyyy 例例5 5 求解方程求解方程()dxxyzdtdyyzdtdzxyyzdt 其中其中 ，初始条件为，初始条件为9,30,12,4(0)1, (0)0, (0)0.002.xyz1 1、建立、建立m-m-文件文件lorenz.m如下：如下： function dy=lorenz(t,y)%y(
9、1)=x,y(2)=y,y(3)=z beta=9/4;ruo=30;segma=12; dy=zeros(3,1); dy(1)=-beta*y(1)+y(2)*y(3); dy(2)=-segma*(y(2)-y(3); dy(3)=-y(1)*y(2)+ruo*y(2)-y(3);()dxxyzdtdyyzdtdzxyyzdt 其中其中 ，初始条件为，初始条件为9,30,12,4(0)1, (0)0, (0)0.002.xyz2 2、取、取t0=0，tf=100，输入命令：，输入命令： T,Y=ode15s(lorenz,0 100,1 0 0.002); plot(T,Y(:,1),
10、+) plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)练习：练习：1：求下列方程的解析解：求下列方程的解析解：2(1)46ln ;t xtxxtt2(2), (0)1,(/ )0ya y yya 2：求下面方程的数值解：求下面方程的数值解2(3), (0)1,(/ )0,4ya y yyaa 123213312123(4)0.51(0)0,(0)1,(0)1yy yyy yyy yyyy 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 微分方程的解析解与数值解微分方程的解析解与数值解建立微分方程模型的基本方法建立微分方程模型的基本方法典型的建模案例简介典型的建模案例简介1 1
11、. .按规律直接列方程按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最的房间内，该物体最初的温度是初的温度是600c，3分钟以后降到分钟以后降到500c 。想知道它的想知道它的温度降到温度降
12、到300c 需要多少时间需要多少时间？10分钟以后它的温度分钟以后它的温度是多少？是多少？牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体放入处于的物体放入处于常温常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围与周围介质的温度差。介质的温度差。物体散热时间的确定物体散热时间的确定 建模范例建模范例1 1分析：分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡室内温度基本不受影响，即室温分布均衡, ,保持为保持为m。 建立模型：建立模型：设物体在冷却过程中的温度为设物
13、体在冷却过程中的温度为T(t)，t0， 转化为?dTTdt 与与成成 正正 比比成正比成正比与与mTdtdT 牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体放入处于的物体放入处于常温常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围与周围介质的温度差。介质的温度差。()dTk Tmdt (),(0)60,(3)50.dTk TmdtTT 建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18. 求得一般解为求得一般解为18,0,ktTcet (T=dsolve(DT=-k*(T-m) , t)代入条件：代入条件：T(0)=60T(0)=60 求
14、得求得c=42(T=dsolve(DT=-k*(T-m) , T(0)=60, t)代入条件代入条件T(3)=50T(3)=50*50501842ke (solve(50=18+42*exp(-k*3) , k)116ln321k 结果结果 ：T(10)=18+42 = 34.9662 0，102116ln31 e T(t)=18+42 , t 0. te2116ln31问题问题: （1）10分钟以后它的温度是多少？分钟以后它的温度是多少？问题问题: （2）温度降到温度降到300c需要多少时间？需要多少时间？ 30=18+42 , t 0. te2116ln31该物体温度降至该物体温度降至30
15、0c 需要需要13.8224分钟。分钟。( solve(30=18+42*exp(1/3*log(16/21)*t), t) ) 作业作业2(刑事侦查中死亡时间的鉴定刑事侦查中死亡时间的鉴定) 警察于清晨警察于清晨7:107:10在一所住宅内发现一具尸体，在一所住宅内发现一具尸体，测得尸体的温度是测得尸体的温度是25250 0C C，当时环境温度是，当时环境温度是20200 0C C，一，一小时后再次测温尸体温度下降为小时后再次测温尸体温度下降为22220 0C C，若人的正常，若人的正常体温是体温是37370 0C C，请协助警察估计死者的死亡时间。，请协助警察估计死者的死亡时间。牛顿冷却（
16、加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体放入处于常温的物体放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围介质的温度差。与周围介质的温度差。设设t t时刻尸体的温度为时刻尸体的温度为T(t)，死亡死亡时间时间t =0t=t0发现尸发现尸体的时体的时间间t=t0+1solve()注求解方程组的命令：注求解方程组的命令：solve例：例： 2222119119xyxy syms x yS1=(x-1)2+(y-1)2-9;S2=(x+1)2+(y+1)2-9;x,y=solve(S1,S2)一场笔墨官司（放射性废物的一场笔墨官司（放射性废物的处
17、理问题）处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深后扔到水深300300英尺的海里英尺的海里. .他们这种做法他们这种做法安全安全吗？吗？分析：分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能。仅考虑圆桶泄露的可能。联想：联想：安全安全 、危险、危险建模范例建模范例2 21 1. .按规律直接列方程按规律直接列方程问题的关键问题的关键l圆桶至多能承受多大的圆桶至多能承受多大的冲撞
18、速度冲撞速度？(40(40英尺英尺/ /秒秒););l圆桶和海底碰撞时的速度有多大？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：新问题：求这一种桶沉入求这一种桶沉入300300英尺的海底时英尺的海底时的末速度。（原问题是什么的末速度。（原问题是什么? ?）可利用的数据条件：可利用的数据条件： 圆桶的总重量圆桶的总重量 W=527.327（磅）（磅） 圆桶受到的浮力圆桶受到的浮力 B =470.327（磅）（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：微分方程： )1(2
19、2DBWdtydm vdtdyCvDgwm ,其中其中22d ymWBDdt ,WdymDCvvgdt 其其 中中W dvCvWBg dt 已知：已知：求求 ( )v t变形变形()dvCggvWBdtWW (0)0V (),(2)(0)0.dvcggvWBdtWWV 方程的解为方程的解为0),1()( teCBWtvtWCg计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 ?原问题得到解决了吗原问题得到解决了吗? ?解决思路：解决思路：避开求避开求t0的难点的难点 令令 v(t)=v(y(t), 其中其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度。是圆桶下沉深度。 d
20、tdydydvdtdv. 将将代入代入22d ymWBDdt dvmWBDdt ,.CvBWdtdydydvm .,W dvvWBCvg dy vdvgWBCv dyW (0)0, (0)0.vy ,(0 )0 ,(0 )0 .vd vgWBC v d yWvy 两边积分得函数方程：两边积分得函数方程： ,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函数若能求出函数v=v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300). .,ln2WgyBWCvBWCBWCv v=v(y) 是一个单调上升函数，而是一个单调上升函数，而v 增大增大, ,y 也增大也增大, ,其反函数其反函数 y = y
21、(v)也是一个增函数。也是一个增函数。 ),ln(2BWCvBWCBWCWgWy 令令 v=40( (英尺英尺/ /秒秒) )，g=32.2( (英尺英尺/ /秒秒2 2),),算出算出y= 238.4 ( (英尺英尺) )300( (英尺英尺) )问题的实际解答：问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，法是极其危险的，必须改变必须改变。 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出
22、各种假设。在一定的假设下，大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。法列出微分方程。 ( (交通管理中的黄灯问题交通管理中的黄灯问题) ) 在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路亮一段时间黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致无法停下来的车辆通过口上或距十字路口太近以致无法停下来的车辆通过路口。路口。建模范例建模范例3 3试建立合理的数学模型以确定黄灯应该亮多长时间。试建立合理的数学
23、模型以确定黄灯应该亮多长时间。(1) (1) 问题的分析问题的分析 在十字路口行驶的车辆中，主要因素是机动车辆。在十字路口行驶的车辆中，主要因素是机动车辆。 驶驶近交叉口的驾驶员，近交叉口的驾驶员， 在看到黄色信号要作出决定在看到黄色信号要作出决定: : 是停车是停车还是要通过十字路口。如果它按法定速度还是要通过十字路口。如果它按法定速度( (或低于法定速度或低于法定速度) )行驶，当决定停车时，行驶，当决定停车时，它必须有足够的停车距离它必须有足够的停车距离。少于此距离时不能停车；少于此距离时不能停车；大于此距离时必须停车；大于此距离时必须停车；等于此距离时可以停车，也可以通过路口。等于此距
24、离时可以停车，也可以通过路口。等于此距离时可以停车，也可以通过路口。当决定通过等于此距离时可以停车，也可以通过路口。当决定通过路口时，他必须有足够的时间使他完全通过路口，这包括路口时，他必须有足够的时间使他完全通过路口，这包括作出决定的时间、通过停车所需要的最短距离的驾驶时间作出决定的时间、通过停车所需要的最短距离的驾驶时间以及通过十字路口的时间。以及通过十字路口的时间。 于是，黄灯的状态应该持续的时间于是，黄灯的状态应该持续的时间包括驾驶员的决定包括驾驶员的决定时间（反应时间）、停车距离的驾驶时间和他通过十字路时间（反应时间）、停车距离的驾驶时间和他通过十字路口的时间。口的时间。(2) 建模
25、与求解建模与求解 记记 T1 -驾驶员反应时间驾驶员反应时间 T2 -汽车通过十字路口的时间汽车通过十字路口的时间 T3 -停车距离的驾驶时间停车距离的驾驶时间则则T= T1 + T2 + T3 为黄灯应该亮的时间。下面计算为黄灯应该亮的时间。下面计算T2 ,T3 设法定行驶速度为设法定行驶速度为 v0，十字路口的长度为，十字路口的长度为I，典型的，典型的车身长度为车身长度为 L，则汽车通过十字路口的时间为，则汽车通过十字路口的时间为 注意车的尾部必须通过路口。注意车的尾部必须通过路口。02vLIT 停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，使汽
26、车减速直到停止。擦力，使汽车减速直到停止。设设m为汽车质量，为汽车质量，f为刹车摩擦系数，为刹车摩擦系数，x(t)为行驶距为行驶距离，刹车制动力为离，刹车制动力为fmg ,（g 为重力加速度为重力加速度）。）。由牛由牛顿第二定律，刹车过程满足下述方程：顿第二定律，刹车过程满足下述方程：T3 ：停车距离停车距离的驾驶时间的驾驶时间 0022,0)0(vdtdxxfmgdtxdmttvfgttx0221)( 0022,0)0(vdtdxxfmgdtxdmttvfgttx0221)( 0vxfg 1002TfgvvLIT T3 ：停车距离停车距离的驾驶时间的驾驶时间22d xafgdt 加加速速度度
27、：fgvvfgvxT000321 停车距离：停车距离： 自然界中也有许多现象所满足的规律是通过自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分得到微
28、分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法建立微分方程的方法建立微分方程 作业作业1（GDP预测）预测） 19981998年我国的国内生产总值（年我国的国内生产总值（GDPGDP）为）为84402.384402.3亿元，亿元，假如我国能保持每年平均假如我国能保持每年平均9.5%9.5%左右的相对增长率，左右的相对增长率，问到问到20202020年我国的年我国的GDPGDP是多少？是多少？ 作业作业2（水库污染问题）（水库污染问题）某水库蓄有某水库蓄有90000t不含有害物质的无污染清水。从时间不含有害物质的无污染清水。从时间t=0开始，含有害物质开始，含有害物质6%的污水不断流入该水库。流入的的污水不断流入该水库。流入的速度为速度为5t/min，在水库中充分混合（不考虑沉淀和化学反，在水库中充分混合（不考虑沉淀和化学反应）后又以应）后又以5t/min的速度流出水库。问经过多长时间后水的速度流出水库。问经过多长时间后水库中有害物质的浓度达到库中有害物质的浓度达到1%？水库中有害物质的浓度会？水库中有害物质的浓度会不会无限增长？不会无限增长？设水库中含有有害物质的含量为设水库中含有有害物质的含量为q(t)( )?dq tdt lim ( )tq t
