《流变学》 第三章 第一、二节

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1、第三章、非线性粘弹流体的本构方程第三章、非线性粘弹流体的本构方程第一节、本构方程第一节、本构方程第二节、空间描述法和物质描述法第二节、空间描述法和物质描述法第三节、广义第三节、广义Maxwell模型模型聚合物具有多层次内部结构，当其在加工流场中受外聚合物具有多层次内部结构，当其在加工流场中受外力作用时，它们的变化相当复杂，表现出与之相关联力作用时，它们的变化相当复杂，表现出与之相关联的各种宏观流变行为。的各种宏观流变行为。v（1 1）不同类型流体的流动曲线）不同类型流体的流动曲线v（2 2）weissenbergweissenberg效应效应（3 3）出口胀大）出口胀大（4）二次流动 当聚合物

2、流动在一椭圆形截面的管子中流动时，除了轴向当聚合物流动在一椭圆形截面的管子中流动时，除了轴向流动外，还可能出现图中对称于椭圆两轴线的环流。称为流动外，还可能出现图中对称于椭圆两轴线的环流。称为二次流动。第二法向应力差的存在是出现二次流动的必要二次流动。第二法向应力差的存在是出现二次流动的必要条件。第二次法向应力差与聚合物大分子链被拉伸的程度条件。第二次法向应力差与聚合物大分子链被拉伸的程度相关。对于聚合物共混来说，为了更加达到均匀混合的目相关。对于聚合物共混来说，为了更加达到均匀混合的目的，二次流动的出现是有利的。的，二次流动的出现是有利的。（5 5）无管虹吸）无管虹吸第一节、本构方程概念第一

3、节、本构方程概念 本构方程本构方程描述一大类材料所遵循的与材料结构属性描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。相关的力学响应规律的方程。 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：0 E胡克弹性体的本构方程为胡克弹性体的本构方程为牛顿流体的本构方程实质方程牛顿流体的本构方程实质方程为为理想气体的本构方程为理想气体的本构方程为 PV=nRTPV=nRT非牛顿流体的本构方程为非牛顿流体的本构方程为nK r(1)acabr01amk r 对于粘性流体，现在时刻的应力只依赖于现在时对于粘性流体，现在时刻的应力只依赖于现在时刻的形变速率张量，与

4、形变的历史无关。刻的形变速率张量，与形变的历史无关。1 1=2 2=0=0，为常数，称为牛顿流体。为常数，称为牛顿流体。=(),=(),称为非牛顿流体。称为非牛顿流体。 对于粘弹性流体，对于粘弹性流体， 1 1和和2 2不等于不等于0 0，此时流体具，此时流体具有记忆特性，现在时刻的应力不仅与当前的形变有记忆特性，现在时刻的应力不仅与当前的形变速率张量有关，还与形变历史有关。速率张量有关，还与形变历史有关。对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务

5、，这也是建立高分子材料流变学理重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。论的基础。关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。 所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速率张所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。量的时间微商，或同时包含这两个微商。所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变历史所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连

6、续分布的模型的叠加来上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。速率型本构方程 v一、经典的线性粘弹性模型一、经典的线性粘弹性模型 MaxwellMaxwell模型模型v已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如些力学模型，如MaxwellMaxwell模型、模型、开尔文模型、开尔文模型、及它们的恰当组合进行描述。及它们的恰当组合进行描述

7、。v弹簧是最简单的弹性模型，粘壶是最简单的粘弹簧是最简单的弹性模型，粘壶是最简单的粘性模型，弹簧盒粘壶的组合构成粘弹性材料的性模型，弹簧盒粘壶的组合构成粘弹性材料的机械模型。机械模型。v弹簧满足线形弹性体的三个条件：弹簧满足线形弹性体的三个条件：v（1 1）应力与应变的响应是瞬时的：对突加载荷，）应力与应变的响应是瞬时的：对突加载荷，一旦加载，弹簧立即变形，一旦卸载，弹簧立一旦加载，弹簧立即变形，一旦卸载，弹簧立即恢复到原来的形状。即恢复到原来的形状。v（2 2）对线性弹簧，应力与应变成正比。）对线性弹簧，应力与应变成正比。v（3 3）应力和应变都不随时间而改变。）应力和应变都不随时间而改变。

8、 E一个具有一块平板浸没在一个充满粘度为一个具有一块平板浸没在一个充满粘度为 , ,符合牛顿流动定符合牛顿流动定律的流体的小壶组成的粘壶律的流体的小壶组成的粘壶, ,可以用来描述理想流体的力学行可以用来描述理想流体的力学行为为. .dtd Maxwell Maxwell模型模型: :特点特点: :两个单元串连而成两个单元串连而成, ,外力作用在此模外力作用在此模型上时型上时, ,弹簧和粘壶所受的外力相同弹簧和粘壶所受的外力相同, ,总应变等于两个应变之和总应变等于两个应变之和 : = 1+ 2弹粘v在一定得应力作用下，材料可以无限的变形，这在一定得应力作用下，材料可以无限的变形，这是粘性流体的

9、特征。是粘性流体的特征。MaxwellMaxwell模型瞬时响应呈现模型瞬时响应呈现弹性体的特征，而时间效应呈现粘性流体的特征。弹性体的特征，而时间效应呈现粘性流体的特征。当对该模型加荷时，总应力由弹簧和粘壶一起承担，当对该模型加荷时，总应力由弹簧和粘壶一起承担，而总的应变则是两者的加和。而总的应变则是两者的加和。开尔文模型v开尔文模型是由一个弹簧和一个粘壶并联而成。开尔文模型是由一个弹簧和一个粘壶并联而成。特点特点:两单元并联两单元并联. = 弹弹= 粘粘, = 粘粘+ 弹弹v开尔文模型是理想弹簧并联了一个粘壶，不能对开尔文模型是理想弹簧并联了一个粘壶，不能对应力或应变产生瞬时弹性效应。当应

10、力或应变产生瞬时弹性效应。当tt无穷时，开无穷时，开尔文模型的蠕变趋向于一条渐近线，这是粘弹性尔文模型的蠕变趋向于一条渐近线，这是粘弹性固体在稳定蠕变时的特征。固体在稳定蠕变时的特征。各种其他模型各种其他模型v设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。注意图中画出的是拉伸形变，我们想象在流场中，弹变。注意图中画出的是拉伸形变，我们想象在流场中，弹簧、粘壶发生剪切形变。簧、粘壶发生剪切形变。对弹簧有对弹簧有对粘壶有对粘壶有220r总应力总应力12总应变总应变式中式中t为应力对时间的一般偏微商为应力对时间的一般偏微商MaxwellMax

11、well模型模型 是一个具有时间量纲的物理量是一个具有时间量纲的物理量, ,为为MaxwellMaxwell方程的特征时间常数方程的特征时间常数, ,叫应力松弛时间叫应力松弛时间. .EEE应力松弛过程总形变固定所以应力松弛过程总形变固定所以 EettdtEddtdEdtdt的变化形变固定时应力随时间将上式积分时当/00,0,010模型的价值模型的价值: :我们从松弛时间可以看出我们从松弛时间可以看出, ,它既与粘性系数有它既与粘性系数有关关, ,又与弹性模量有关又与弹性模量有关. .说明松弛过程是弹性行为和粘性行说明松弛过程是弹性行为和粘性行为共同作用的结果为共同作用的结果. .Maxwel