第三章__离散傅里叶变换DFT 总结
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1、6 DFT的实际应用问题7 FFT典型用法5 DFT的性质4 DFT-有限长序列的离散频域表示2 周期序列的DFS3 DFS的性质1 傅氏变换的几种可能形式二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换时时 域域频频 域域 这是连续时间，非周期信号这是连续时间，非周期信号x(t)
2、的傅里叶变换。它得到连续的傅里叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数的、非周期的频谱密度函数X(j )。 dtetxjXtj)()( dejXtxtj)(21)(时域连续时域连续频域非周期频域非周期时域时域非周期非周期频域频域连续连续 这是连续时间，周期信号这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数非周期的频谱密度函数X(j )。例如信号。例如信号x(t)=sin100 t只有只有一个频率分量。一个频率分量。 2/2/00000)(1)(TTtjkdtetxTjkX ktjkejkXtx0)()(000022TF 其中，其中，
3、X(jK 0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。为谐波序号。时域时域周期周期频域频域离散离散 nnjjenxeX)()( deeXnxnjj)(21)( 时域离散，将导致频域周期化，时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是且这个周期是 s s。时域离散时域离散频域周期频域周期 上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不不适于计算机运算适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。算机运算。思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，
4、则频思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：期化。于是有：时域时域离散、离散、周期周期频域频域周期、离散周期、离散各种形式的傅里叶变换 xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN点xp(n)oN点nTn(a)(b)(c)(d)|Xa( j)|10o0|Xp( jk)|ok|X( ej)|1/T|X( ejk)|sooN点sT时域函数频域函数频域函数变换类型变换类型傅里
5、叶变换(FT)傅里叶级数(FS)序列傅里叶变换(DTFT)离散傅里叶变换(DFT)连续和非周期连续和周期非周期和连续非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散 卷积特性卷积特性时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理 1.在一个域的相乘(卷积)等于另一个域的卷积(相乘)2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。FS连续和非周期非周期和连续问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即办法：时域采样问题：怎样时域采样呢？离散和周期周期和离散DFT办法：时域相乘，频域卷积DTFT时域相乘频域卷积离散和非周期周期和连续问题：依然不能被计
6、算机处理办法：频率采样办法：频率采样离散和周期周期和离散IDFT问题：怎样频域采样呢？办法：频域相乘，时域卷积DFT时域卷积频域相乘离散和周期周期和离散IDFT计算机能够处理问题解决！问题：(9)和(5)不同呢？Answer：周期延拓旋转因子旋转因子W WN N的性质的性质NjNeW2)(rNnNnNWW*)(nNnNWW011)(110)(10*NnnkmNNnmnNknNWNWWNkmkm例例1 设 为周期脉冲串)(nx)()(rNnnxr（3-8） 因为对于0nN-1，, 所以利用式（2-6）求出 的DFS系数为 )()(nnx)(nx1)()()(1010nkNNnnkNNnWnWnx
7、kX（3-9） 在这种情况下，对于所有的k值 均相同。于是，将式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式 )(kX1021011)()(NknkNjnkNNkreNWNrNnnx（3-10） 例例2 已知周期序列 如图3-2所示，其周期N=10, 试求解它的傅里叶级数系数 。 )(kX)(kX图3-2 例3-2的周期序列 （周期N=10） )(nx 100 1 2 3 4 5 6 7 8 910n)(nx由式（3-6） 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（3-11） 这一有限求和有闭合形式 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（3-12） 图 3-3
8、图3-2所示序列的傅里叶级数系数 的幅值 )(kX 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101520k| )(|kx5 有限长序列离散傅里叶变换（有限长序列离散傅里叶变换（DFT）DFT的定义的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。 设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即 nNnnxnx其他010)()( 为了引用周期序列的概念，我们把它看
9、成周期为N的周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即表示成:)(nx)(nxnNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 这个关系可以用图2-8来表明。通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成 )(nx)(nx)(nxNnxNnxnx)()mod()(图2-80N1n)(nx N0N1n主值区间x(n) 用(n)N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”， 或称“n对N取模值”。 令 mN
