极限和导数拓展讲义

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1、极限和导数本讲提示本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍，并指导同学在实际的物理情景中应用。讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。本节知识提纲1数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算2函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用3导数：导数扩展了物理量的定义。掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法则最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。本讲义实际讲解的是很不严密的，代替不了真正的数学课

2、，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。知识模块第一部分 数列极限知识点睛先思考这个问题和1哪个大？纯洁而朴素的想法如下：，所以无限循环小数小于1。然而事实并非如此。令，则有： 相减得到： 所以为了解释这样的事情，我们做如下分析，构造数列：显然数列里面的每一项都是小于1的。但是并不在这个数列中。因为数列里面每一项都是有限小数，是无限小数。当项数不断增大的时候不断靠近，却一直不等于。我们这样定义数列的极限：如果存在一个实数使得：对于任意的实数，都存在一个整数，使得对于任意，那么就叫是数列的极限，记作。否则叫数列没有极限。可以这样形象地理解这个定义：当很大的时候，与要多靠近就有多靠近；越大，

3、与就越靠近。但是并不要求要等于。回到刚才的例子，是数列的极限。证明如下：对于任意一个实数，总有一个整数使得，则对于，。按照极限的定义是数列的极限，同理1也是数列的极限，二者是相等的。不加证明的给出几个定理，有兴趣的同学可以自己证明：定理 如果数列存在极限和，定理 如果数列的极限存在，则其无穷子数列极限存在，并于原数列相等。定理 单调有界数列一定存在极限定理 夹逼定理如果数列，并且的极限都是，则的极限也是定理 如果数列的极限存在，那么其子数列极限一定存在并且与原极限相等注意：数列的极限反映的是数列的变化趋势，是一个数，这个数并不要求在这个数列中出现。下面给出一些运算时常用的定理：定理 如果两数列

4、分别存在极限、，则两数列和数列的极限为定理 如果两数列分别存在极限、，则两数列商数列的极限为一般在实际计算极限的时候不会真的按照定义证明，而是使用一些现有的结论简化计算。通常计算极限的方法：如果一个数列的极限存在，并且满足一元初等运算的条件（例如根号下面数大于等于0，对数的底数大于0，不等于1），则做一元运算后的极限（如果存在），等于先取数列的极限，然后对极限进行一元运算的结果，例如指数、对数、三角函数；如果两数列分别存在极限，则在满足二元初等运算一般条件的时候，两个数列二元运算后数列记得极限（如果存在）等于两数列取极限然后再做二元运算，例如加法、乘法、除法、乘方等。 如果发现表达式的某些部分

5、不满足以上条件的时候，而整体的极限可能存在，例如形如0/0、无穷/无穷、无穷-无穷，应当设法将发散的其他部分组和，以期望得到可以判定的结果。例题精讲【例1】 一尺之棰,日取其半,万世不竭。做出数列等于第n天的捶的长度。使用极限的定义证明该数列的极限为0。解析 不失一般性，另，则对于任意，令，方括号代表取整，则对于任意，有，按照定义，的极限是0。【例2】 说明下列数列是否有极限，如果有极限，极限为多少。（1）； ; ; ；（2）易证明和分别都不存在极限，它们的差或者商有极限么？解析（1） 1、极限为1 常数列的极限显然是其自己2、对于任意，令，则对于任意，按定义的极限为03、同上面一题，易证的极

6、限是0。这样4、不存在极限。取出为偶数的子数列，极限为1，为奇数的子数列极限为-1，二者不等，所以极限不存在。(2)，易证的极限是0，所以的极限是0,同理商的极限是1.【例3】 把一个篮球从离地面5米高的地方静止释放，假设其受的阻力大小恒定，为重力的一半，篮球落地后与地面碰撞过程中能量几乎不损失，计算篮球最后的总路程。 【答案】10米【例4】 证明存在，并且。（自学）实际上这是自然底数的定义式：解析 （当）所以；而所以可以证明是一个递增数列，递增有限数列存在极限。现在把称为自然底数，记做，通过计算得到现已证明是一个无限不循环小数。【例5】 有一杯纯酒精，上方有一个阀门，能缓缓流入水，并在下方以

7、相同的流量漏出液体，保证杯子是满的。假设水和酒精混合之后体积不变，并且流速足够慢，以至于每个时刻都可以认为水和酒精混合均匀。问当上方补充的水的体积到达一杯的时候，杯中酒精的浓度。解析 假设把每次补充的水，放出的液体，这样酒精浓度变为，重复n次之后，酒精浓度为。而，所以 巩固练习：练习： 说明下列数列是否有极限，如果有极限，极限为多少。；答案 不存在；0第二部分 函数极限知识点睛有时候我们关心，当函数的自变量趋于某一个位置的时候，函数值的变化趋势。例如观察函数的图像。这个函数在的位置没有定义，但是当趋于0的时候，函数值平稳的趋近于1。见下表：xsin(x)/x10.841470980.10.99

8、8334170.010.999983330.0010.99999983我们用以下的方法描述函数在某一点的渐进性为：对于函数，如果其在区间，内有定义，并且存在使得，对于任意，存在，使得对于任意，那么称在点处存在右极限，记做类似的可以定义左极限，如果左极限等于右极限，则不区分二者，直接称为函数在存在极限，记做：。对于连续函数，定义域内极限总是存在的，并且有左极限等于右极限，并且就等于其自身在那一点的函数值。数列极限的各种运算法则和定理一般情况下都适用于函数极限的运算。类似的，可以定义函数在无穷远点的极限：一个函数在区间内有定义，为任意实数，如果存在使得，对于任意，存在，使得对于任意，有，那么称当趋

9、于正无穷时有极限，记为。类似的可以定义当趋于负无穷时有极限，记为。有时候当趋近于某个数，或者趋向于无穷大时，函数值“要多大有多大”（其实就是把极限定义中的换为），这时候形象的记做：。读作时，趋向于无穷。例如。这代表在这一点的极限不存在，并且是以趋向于无穷的方式不存在。一个极限不存在并不一定意味着它趋于无穷，例如，这个函数的极限并不存在，而且它也不趋向于无穷，而是在-1到1之间来回振荡。和计算数列的极限一样，实际计算函数极限的时候也不会每次都用极限的定义计算。实际操作的时候会先观察极限存在的情况。有一些基本的函数直接知道极限的情况。例如，时趋于无穷，时等于0。然后尽量把函数化成几部分的初等运算，

10、而每一个部分极限都是存在的，并且使部分之间的运算不出现发散。这时候可以先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。极限在物理学中的应用是广泛的。回忆秋季第一讲，瞬时速度、瞬时加速度都是利用极限定义的：；例如对于匀加速直线运动：同理计算瞬时加速度。例题精讲【例6】 证明xxsin xtan x解析 从图上直接读出 ；容易证明 ；于是由夹逼定理，于是。【例7】 判定下列极限是否存在。如果存在，求出这些极限； 解析 1、（有人类比得到 5）2、3、 有界，而趋于无穷，所以4、5、【例8】 说明下列极限是否存在，如果存在计算下列极限（自学）；解析 1、 2、【例9】 某物体在

11、做直线运动，运动方程为，求其速度与加速度随时间的关系解析 第三部分 导数知识点睛1 导数的引入观察平均速度的定义：。瞬时速度是上面式子时间差趋于0的结果。可见瞬时速度并不是近似值，而是通过极限能获得严格定义的。我们把这样的极限叫做位移随着时间的导数：。注意导数不是和乘法和除法一样的二元函数，而是反映了函数值随着自变量的变化关系。一个物理量随着另一个物理量的变化率也经常是一个物理量。例如初中学过的两个公式：；。前一个公式当让是时刻成立的，即使和随时间变化，计算出来的量就是当前时刻的电流值；然而如果把相同的想法放到第二个公式结果就荒谬了。只有当电流不变的时候才正确。因为第一个方式是瞬时的方程，第二