确定临界荷载的能量法
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1、13.3确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法 一、能量法及临界状态的能量特征一、能量法及临界状态的能量特征临界状态的能量特征临界状态的能量特征 UWP0E 其一其一，从，从能量守恒原理能量守恒原理出发，有出发，有（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。其二其二，从，从势能驻值原理势能驻值原理出发，有总势能出发，有总势能（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利里兹能量法。（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利里兹能量法。二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法在位于凹面内稳定平衡情况下，其势能E
2、P最小。当受到某受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而势能增加，即势能增加，即 D D EP 0在位于凸面上不稳定平衡情况下，其势能 EP最大。当受到最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即而势能减小，即 D D EP 00PEEP0ABPFB1lEI弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加(增加了弯曲应变能)，杆件的荷载势能将会减小 整个体系的势能的增量为PPEUU体系处于随遇平衡状态时，势能的增量恒等于零 即即
3、 D D EP 0P0UUPUW UW铁木辛柯能量法 1、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）用能量法重解上节图用能量法重解上节图13-6所示刚性中心压杆的临界荷载。所示刚性中心压杆的临界荷载。第一，假设失稳形式，第一，假设失稳形式，如图实线所示，位移参数为如图实线所示，位移参数为q q 。第二，根据临界状态的能量特征第二，根据临界状态的能量特征 AlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EIUW建立临界状态平衡方程建立临界状态平衡方程 荷载功的增量为AlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EIPWFD222cos1cos112sin
4、2sin2222llllllDqqqqq 22lqD212ylD2P2F lWq2122k lUkllqqqAlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EI22P22k lF lqq2P0klFq此即临界状态平衡方程。这是一个以q 为未知量的齐次方程。能量法以下的步骤与静力法完全相同 PcrFkl能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：1)假定失稳形式。2)根据能量特征 。3)由位移有非零解的条件，建立稳定方程。4)解稳定方程，求特征荷载值。UW5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）【例【例13-4】
5、试用能量法重解上节例】试用能量法重解上节例13-1图图13-7a所示具有所示具有两个自由度体系的临界荷载。两个自由度体系的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图所示。 ABCDFPkklllFPDCBAPFAxF =FR11kyky2R2F =FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EIABCDFPkklllFPDCBAPFAxF =FR11kyky2R2F =FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EI根据UW建立临界状态能量方程：荷载功的增量为PWF 22222121211221122yyyyyy yylDABCDFPkklllFPD
6、CBAPFAxF =FR11kyky2R2F =FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EI22P1122FWyy yyl2211221211222kUkyykyyyy又弹性支座的应变能增量为2212P2211222yyklFyy yyP2klAFB2212Ayy221122Byy yy2110ABBAByyP10FyP20Fy110AAByBy220AAByBy P1P2P1P22020klFyF yF yklFy 能量法以下的计算步骤与静力法完全相同能量法以下的计算步骤与静力法完全相同 PPcrP min3F lFF2、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、无限
7、自由度体系的稳定（铁木辛柯法）现以图示弹性中心压杆为例现以图示弹性中心压杆为例 xxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd =ds)dxBAEIB1取压杆直线平衡位置作为参考状取压杆直线平衡位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所态。假设失稳形式，如图实线所示，示，y(x)为满足位移边界条件的为满足位移边界条件的任一可能位移状态。任一可能位移状态。220011dd22llEIyMUxxEIEI201d2lUEI yxxxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd =ds)dxBAEIB1xxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxl
8、xd =ds)dxBAEIB1取微段dx进行分析，微段两端点竖向位移的差值为 d1cosdxDq24cos12!4!qqq 按泰勒级数展开 tanyqq略去高阶微量，则可改写为 2211ddd22xyxDq2001dd2llyx荷载功的增量2PP0d2lFWFyxDxxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd =ds)dxBAEIB120P20ddllEI yxFyxUW20Pcr20dmindllEI yxFyx临界荷载的计算公式为 ( )yx20Pcr20dmindllEI yxFyx1) 假设失稳形式y(x)。2) 计算y(x)和3) 代入铁木辛柯能量法公式（13-
9、6），计算临界荷载用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：PFxyylxBB1AEI【例【例13-5】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。荷载。假设变形曲线为二次抛物线2yaxbxc引入边界条件 0 x xl0y 0c bal 2ya xlxlEIaxyEIl2204d 分子 3d3220laxyl分母Pcr212EIFl误差为21.6% 假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线，即PFxyylxBB1AEI323224qxyx - x llEIPcr29 8824.EIFlx=0,x=l处的几何
10、边界条件 仍能满足仍能满足误差仅为0.13% PFxyylxBB1AEI假设变形曲线为正弦曲线假设变形曲线为正弦曲线sinxyal同样能满足几何边界条件。变形曲线同样能满足几何边界条件。变形曲线只含一个位移参数只含一个位移参数a，即作为单自由，即作为单自由度体系看待度体系看待 2Pcr2 EIFl用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致 第一，用能量法求临界荷载，须第一，用能量法求临界荷载，须事先假定屈曲时的变形事先假定屈曲时的变形曲线曲线，得到的是对应的，得到的是对
