高等代数(第三版)8-习题课

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1、一、基本概念二、基本结论三、基本算法一、基本概念一、基本概念 矩阵，可逆的矩阵，可逆的 矩阵，秩；矩阵，秩； 矩阵的初矩阵的初等变换及标准形，等变换及标准形， 矩阵的等价；行列式因子，矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形矩阵的有理标准形.二、主要结论二、主要结论 （定理定理1） 一个一个 的的矩阵矩阵 可逆可逆nn ( )A 是一个非零常数是一个非零常数.( )A 1. 矩阵可逆的等价刻画矩阵可逆的等价刻画矩阵的乘积矩阵的乘积. （定理（定理6） 可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等( )A ( )A 2.（定理定理2）

2、任意一个非零的任意一个非零的 的的 一矩阵一矩阵sn ( )A 都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵 12( )( )( )00rddd 其中其中 1,( ) (1,2, )irdir 是首项系数为是首项系数为1的的多项式多项式，且且1( )( ) (1,2,1).iiddir 称之称之为为的的标准标准形形.( )A （定理定理5） 矩阵矩阵 、 等价等价 ( )( )AB( )( )AB、 有相同的不变因子有相同的不变因子. 3. 等价矩阵的刻画等价矩阵的刻画( )( )AB、 有相同的行列因子有相同的行列因子. 存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆( )P s

3、s nn ( )( ) ( ) ( ).BPAQ 推论推论：两个：两个 的的 矩阵矩阵 、 等价等价 sn ( )( )AB矩阵矩阵 ，使，使 ( )Q 4. 相似矩阵相似矩阵设设 ，则，则A与与B相似相似 ,n nA BP 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.EA EB 定理：定理：推论推论: :设设 则则 相似相似 ,n nA BP ,A B特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB E-E-AB与与、 有相同的行列因子有相同的行列因子. 结论结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同

4、的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.设设 ，则，则A与与B相似相似 ,n nA BP 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.EA EB 特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB E-E-AB与与、 有相同的行列因子有相同的行列因子. A与与B有相同的初等因子有相同的初等因子.A与与B有相同的不变因子有