第1章真空中静电场3(电势)

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1、14 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 一、静电场力的功一、静电场力的功 电势能电势能 二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理 电势电势 三、电势的计算三、电势的计算 四、等势面四、等势面 电势梯度电势梯度2一一 静电场力所做的功静电场力所做的功lEqAdd0lerqqrd4200rrqqAd4d200 点电荷的电场点电荷的电场q0qArABBrErreldrdrllerdcosdd3BArrrrqqA200d4)11(400BArrqq结论结论: : A仅与仅与q0 0的的始末始末位位置置有关有关，与路径无关，与路径无关. .rrqqAd4d200q0qArABBrErreldr

2、d4 任意带电体的电场任意带电体的电场iiEEllEqAd0liilEqd0结论：结论：静电场力做功，与路径无关静电场力做功，与路径无关. .（点电荷的组合）（点电荷的组合）5二二 静电场的环路定理静电场的环路定理ADCABClEqlEqdd000)dd(0CDAABClElEq0dllE静电场是保守场静电场是保守场结论：结论：沿闭合路径一沿闭合路径一周，周，电场力作功为零电场力作功为零.EABCD6讨论讨论1）静电场的基本方程之一）静电场的基本方程之一 静电场是保守场静电场是保守场2） 微分形式微分形式0E3）表征静电场的性质有两个方程）表征静电场的性质有两个方程0LlEd0iiSqSEd0

3、LlEd7三三 电势能电势能 静静电场是电场是保守场保守场，静电场力是静电场力是保守力保守力. 静电场力所做的功就静电场力所做的功就等于电荷等于电荷电势能增量电势能增量的的负值负值.)(ppppABBAABWWWWA电场力做正功，电势能减少电场力做正功，电势能减少. .EAEpBEpAB8)(dpppp0ABBAABWWWWlEq令令0pBEABAlEqWd0p 试验电荷试验电荷q0在电场中某点的电势能，在在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功力所作的功. .EAEpBEpAB9 bababaWWlEqlfddqWqWlE

4、babadabqE如图示如图示点电荷在场中受力点电荷在场中受力Eqf2.电势电势qWqWba根据静电场根据静电场的环路定理的环路定理与试验电荷无关与试验电荷无关反映了电场在反映了电场在a b两两点的性质点的性质10 balEd 势能零点aalEVd1) )电电势零点的选择势零点的选择( (参考点参考点) )任意任意 视分析问题方便而定视分析问题方便而定参考点不同电势不同参考点不同电势不同若选若选b点的势能为参考零点点的势能为参考零点 则则 a点的电势：点的电势：baVV 称称 a b两点电势差两点电势差讨论讨论 势能零点aalEd11通常：通常：理论理论计算计算有限有限带电体电势时选带电体电势

5、时选无限远无限远为参考点为参考点实际实际应用中或研究电路问题时取应用中或研究电路问题时取大地大地、仪器、仪器外外壳壳等等2)电势的量纲电势的量纲SI制：单位制：单位 V (伏特伏特) 量纲量纲 132IMTLqWV3)电势是一个长程物理量电势是一个长程物理量121.点电荷场电势公式点电荷场电势公式球对称球对称标量标量 正负正负rlEdrrQrd204rQV04三、电势的计算三、电势的计算QPrEld PPlEVdrr rQrd204rldd 13电势的叠加原理电势的叠加原理 点电荷系点电荷系iiEEniiiArqV104AAlEVd niAilE1dniiV11q2q3qA1r1E2r2E3r

6、3E14 电荷连续分布时电荷连续分布时rqVAd410AVqddrqV04ddrqd15计算电势的方法计算电势的方法（1）利用利用E已知在积分路径上已知在积分路径上 的函数表达式的函数表达式有限大有限大带电体，选带电体，选无限远无限远处电势为零处电势为零. .BABAVlEVd （2）利用点电荷电势的叠加原理利用点电荷电势的叠加原理rqVd410 势能零点aalEVd16 例例1 正电荷正电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的细圆的细圆环上环上. 求环轴线上距环心为求环轴线上距环心为x处的点处的点P的电势的电势.解解xPoxxRqdrrqVPd 41d0qrVPd4102204Rxqrq0

7、417RqVx0040 ，xqVRxP04 ，2204RxqVP讨讨 论论xPoxxRl drxoVRq042204Rxq18 通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的电势的轴线上任意点的电势.rrqd2d)( 2220 xRxRrxrrV0220d241Rx xRxRx2222xQV04xx22rx rrdRoP19 例例2 真空中有一电荷为真空中有一电荷为Q，半径为，半径为R的的均匀带电球面均匀带电球面. 试求试求（1）球面外两点间的电势差；球面外两点间的电势差；（2）球面内两点间的电势差；球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点球面外任意点 的

8、电势；的电势；（4）球面内任意点球面内任意点 的电势的电势.RABorArBr20解解RrrQRrE2040)11(40BArrQ0d BABArrrEVV（1）Rr RABorArBrBABArrrEVVdBArrrrQ20d4rdr（2）Rr RABorrd21（3）Rr 0VrB令令rQrV04)()11(40BABArrQVVRABorArBr（4）Rr RrERrrErVdd)(RQ04RQ04 RoVrQ04 r22例例3 “无限长无限长”带电直导线的电势带电直导线的电势.解解令令0BVBPrrrEVdBrrrrd20rrBln20讨论：能否选讨论：能否选?0VBBrPror23例

9、例2 计算电量为计算电量为 Q 的带电球面球心的电势的带电球面球心的电势RqV04dd QQRqVV04ddRQ04RQo解：解：在球面上任取一电荷元在球面上任取一电荷元qdqd则电荷元在球心的电势为则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势球面上电荷在球心的总电势 思考：思考：电量分布电量分布 均匀？均匀？圆环？圆环？圆弧？圆弧？24例例3 平行板电容器两板间的电势差平行板电容器两板间的电势差d0E lEVdlEd解：解：平行板电容器内部的场强为平行板电容器内部的场强为两板间的电势差两板间的电势差EldlEdEd方向一致方向一致l,Ed均匀场均匀场25 例三例

10、三 无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面 场中电势分布场中电势分布. .xaoa 电场分布电场分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE电荷无限分布，在有限远处选零势点电荷无限分布，在有限远处选零势点. .令令 ，沿沿 轴方向积分。轴方向积分。0oUxaxaaaxExEUax000)(0dd 区域：26xaoa axaaaxExEUax000)(0dd 区域： ：区域axa000 )(dxxxEUx ：区域ax 000)(0 ddaaxExEUaxa 曲线如图曲线如图xU xaoaU0a0a27 例六例六 在与面电荷密度在与面电荷密度的无限大均匀带电平板相距的无限大均匀带电平板相距a处处有一