高等数学2-499301

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1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率四、相关变化率五、小结五、小结上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :( ).yy x 由由方方程程所所确确定定的的函函数数称称为为隐隐函函数数( ).yf x 形形式式为为显显函函数数称称0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的

2、显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强3例例1 100,.xyxxyeedydyydx dx 求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数解解,x方方程程两两边边对对 求求导导0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy 0,0,xy 由由原原方方程程知知000 yxyxxexyedxdy. 1 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院

3、王文强4例例2 2333,3 3(,),2 2.CxyxyCC 设设曲曲线线 的的方方程程为为求求过过上上点点的的切切线线方方程程 并并证证明明曲曲线线在在该该点点的的法法线线通通过过原原点点解解,x方方程程两两边边对对 求求导导yxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy30.xy即即33,22yx法法线线方方程程为为,yx 即即显然通过原点显然通过原点. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强5例例3 3441,(0,1).xxyyy 设设求求在在点点处处的的值值解解x方方程程两两边边对对

4、 求求导导得得)1(04433 yyyxyx0,1xy代代入入得得;4110 yxy(1)x将将方方程程两两边边再再对对 求求导导得得04)(122123222 yyyyyxyx0114xyy 得得0,1,xy代代入入.16110 yxy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强6二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :( )( ).v xu x多多个个函函

5、数数相相乘乘和和幂幂指指函函数数的的情情形形上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强7例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx上上式式两两边边对对 求求导导得得142)1(3111 xxxyy32(1)1,.(4)xxxyyxe 设设求求上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强8例例5 5解解sin(0),.xyxxy 设设求求等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln x上上式式两两边边对对 求求导导得得xxxxyy1sinln

6、cos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强9一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv1ln( )( ),( )ddf xf xdxf xdx又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强10三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数( ),( ).xtyxyt 若若参参数数方方程程确确定定 与与 间间的的函函

7、数数关关系系称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强111( ),)txtx 设设函函数数具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数)(1xy ( ),( ),( )0,xtytt 再再设设函函数数都都可可导导 且且由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt .dytdydtdxdxtdt

8、即即( ),( )xtyt 在在方方程程中中上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12( ),( )xtyt 若若函函数数二二阶阶可可导导)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt 223( )( )( )( ).( )d yttttdxt 即即上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强13例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 (sin ).2(1cos )xa tttyat 求求摆摆线线在在处处的的切切线线方方程程

9、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强14,(1),.22txaya当当时时所求切线方程为所求切线方程为)12( axay即即(2).2yxa 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强15例例7 7解解002000,cos ,1sin,2(1);(2).vxv tyv tgttt 不不计计空空气气的的阻阻力力 以以初初速速度度发发射射角角发发射射炮炮弹弹 其其运运动动方方程程为为求求炮炮弹弹在在时时刻刻 的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻 的的速速度度大大小小xyovxvyv0v00(1),tt在在 时时刻刻的的运运动动方方向向即即轨轨迹迹在在 时时