高等代数 矩阵

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1、一、基本概念和重要结果一、基本概念和重要结果 1.Binet-Cauchy公式公式 设矩阵设矩阵Amn Bnm =Cmm ，则，则(1) 当当mn时，时，|C|=0(2) 当当m=n时，时，|C|=|A|B|(3) 当当mm-r X必必为非高矩阵。为非高矩阵。7.相似矩阵相似矩阵 (1)相似矩阵有相同的特征多项式，特征根及相同相似矩阵有相同的特征多项式，特征根及相同的迹，相似矩阵的行列式相等，秩相等。的迹，相似矩阵的行列式相等，秩相等。 (2) 矩阵相似于对角形的条件：矩阵相似于对角形的条件： b. A有有n个不同的特征根，则个不同的特征根，则A相似于对角形。相似于对角形。 a. A有有n个线

2、性无关的特征向量个线性无关的特征向量 A相似于对角形相似于对角形 c.设设n阶矩阵阶矩阵A有有s个不同的特征根个不同的特征根 ,A的属于的属于 的线性无关特征向量的个数为的线性无关特征向量的个数为ni， A相似于对角形。相似于对角形。s,21innsii1 f.A的最后一个不变因子是不同的一次因式的乘的最后一个不变因子是不同的一次因式的乘积，则积，则A相似于对角形。相似于对角形。 d.A的初等因子都是一次因式的初等因子都是一次因式 A相似于对角形相似于对角形. e.A的最小多项式无重根的最小多项式无重根 A相似于对角形。相似于对角形。 g. A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A正交相似于对角形

3、。正交相似于对角形。 h. Am=I，则，则A相似于对角形。相似于对角形。 i. A2=A，则，则A相似于对角形。相似于对角形。 j. A正定，正定，C是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则AC相似于对角形。相似于对角形。 (3) A与与B是同一线性变换在不同基下的矩阵，则是同一线性变换在不同基下的矩阵，则A与与B相似。相似。 k. A有有n个不同的特征根个不同的特征根, A与与B可换可换,则则B相似于对角形相似于对角形. l. 若若A相似于对角形相似于对角形, f是多项式是多项式,则则f(A)相似于对角形相似于对角形. (4) 矩阵矩阵A与与B相似相似等价。与BIAI 8. 矩阵的分解矩阵的分解

4、b. 利用若当标准形利用若当标准形:对任意矩阵对任意矩阵A，存在可逆矩阵，存在可逆矩阵P,使使P-1AP=J，其中，其中J为若当标准形。为若当标准形。 c. 对矩阵的阶数用数学归纳法。对矩阵的阶数用数学归纳法。 d. 利用矩阵运算。利用矩阵运算。 (1) 分解矩阵的方法：分解矩阵的方法： a. 初等变换法：设初等变换法：设r(A)=r,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,Q使使000rIPAQ e. 利用不变子空间对矩阵分解。利用不变子空间对矩阵分解。 (2)常见的矩阵分解：常见的矩阵分解： a. 若若r(A)=r，则，则 ，其中，其中r(Bi)=1.riiBA1 b. 对任意对任意n阶方阵阶方阵

5、A，有，有A=B+C，其中，其中BT=B,CT=-C. c. 若若A为为mn阶矩阵且阶矩阵且r(A)=1，则，则A=Bm1C 1n,且且r(B)=r(C)=1. d. 若若r(A)=r,则则Amn =BmrC rn,其中其中r(B)=r(C)=r. e.若若r(A)=r,则则0.|Q|0|P|,000，其中QIPAr f. A=TBT-1,其中其中B是上三角形矩阵且对角线上的元是上三角形矩阵且对角线上的元素是素是A的特征根。的特征根。 g. 若若r(A)=r,则则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主是上三角形的矩阵，其主对角线上前对角线上前r个元素为个元素为1，后，后n-r个元素为个元素为0而而

6、|P|0. h. A=BC,其中其中BT=B,CT=-C. i. 对任意对任意n阶矩阵阶矩阵A有有A=BU，其中，其中B是半正定矩阵，是半正定矩阵，U为酉矩阵。为酉矩阵。 j. A是实矩阵且是实矩阵且|A|0，则，则A=BT，其中，其中B是正定矩是正定矩阵，阵，T是正交矩阵。是正交矩阵。 k. A是实方阵且是实方阵且|A|0，则，则A=TQ ，其中，其中T是正交是正交矩阵，矩阵，Q是上三角正线矩阵。是上三角正线矩阵。 l. A是实对称矩阵是实对称矩阵,则则A=BT,其中其中B为半正定矩阵为半正定矩阵,T为正交矩阵。为正交矩阵。 n. 对任意对任意n阶方阵阶方阵A，有，有A=B+C，其中，其中B

7、相似于对相似于对角形矩阵，角形矩阵，C为幂零矩阵且为幂零矩阵且BC=CB. m. A是正定矩阵，则是正定矩阵，则A=Bk，其中，其中B为正定矩阵。为正定矩阵。A是正定矩阵是正定矩阵 A=CTC,其中其中|C|0. A=T，其，其中中是正线上三角形矩阵。是正线上三角形矩阵。 9. 矩阵的特征多项式及特征根矩阵的特征多项式及特征根 若存在非零向量若存在非零向量X,使使AX= X, 则则 称为称为A的特征根的特征根, X称为称为A的属于特征根的属于特征根 的特征向量的特征向量, 称称为为A的特征多项式，的特征多项式，A的特征根是的特征根是 的根的根, A的属于的属于 的特征向量是方程组的特征向量是方

8、程组 的所有非零解的所有非零解.|)(AIf)(f0)(XAI (1) n阶方阵阶方阵A的特征多项式的特征多项式,|)(111nnnnaaaAIf其中其中niiikkkkkiiiiiiAa2112121)1(特别地，特别地，. |) 1(,11Aaaannniii (2) 若若nAAAM21Ai是是ni阶方阵，则阶方阵，则niiniAIMIi1| (3) 设设 是矩阵是矩阵A的特征多项式，则的特征多项式，则f(A)=0.)(f (4)设设A,B是是n阶方阵，则阶方阵，则AB与与BA有相同的特征有相同的特征多项式，从而有相同的特征根。多项式，从而有相同的特征根。 (5)设设 是是A的最小多项式，

9、的最小多项式， 是是A的特征的特征多项式，则多项式，则 与与 有相同的不可约因式，从而有相同的不可约因式，从而有相同的根，有相同的根， 是是 的最后一个不变因的最后一个不变因子，若子，若 满足满足h(A)=0，则，则)(g)(f)(g)(f)(gAI )(h).(| )(hg (6)若若Ai是方阵，则是方阵，则A的最小多项式等于的最小多项式等于Ai的最小多项式的的最小多项式的最小公倍式。最小公倍式。nAAAM21 (7) 若若 是是A的特征根，则的特征根，则 是是 的特征根（的特征根（ 是任一是任一多项式）。多项式）。n,21)(,),(),(21n)(A)( (8)属于不同特征根的特征向量线

10、性无关。属于不同特征根的特征向量线性无关。 (9)X是是A的属于的属于 的特征向量的特征向量,则则X是是 的属于的属于 的特征向量。的特征向量。)(A)( (10)X是是A的属于的属于 的特征向量且的特征向量且|A|0，则，则X是是A-1的属于的属于 的特征向量。的特征向量。1 (11) 属于属于A的同一特征根的同一特征根 的特征向量加上零向的特征向量加上零向量构成的线性空间的维数小于等于量构成的线性空间的维数小于等于 的重数。的重数。111|11PAkkAPPAAAkEAEkAAnn 注：注：1)2()1()()(,PPBABAkEBrkEArkE|BkE|AkEBkEABAnnnn进而进而

11、由211212111,PPPCAPPCBPPBAPP其中由 2.构造分块矩阵是证明有关矩阵秩的结论的一种常构造分块矩阵是证明有关矩阵秩的结论的一种常用的、有效的方法。用的、有效的方法。 3. 如果已知条件中出现如果已知条件中出现A*，一般地，都要用到，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E这一结论。这一结论。二、基本方法二、基本方法 1.若若A可逆可逆, 求求A-1一般有两种方法一般有两种方法(当当A具体给出时具体给出时): (1)伴随矩阵的方法，伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|. (2)初等变换方法，初等变换方法，(A,E)（初等行变换）（初等行变换）(E,A-1). 4. A,BPn