第三章初值问题

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1、1本章基本要求本章基本要求n掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义n掌握半无限长问题的延拓法求解掌握半无限长问题的延拓法求解2n掌握非齐次方程问题的求解方法掌握非齐次方程问题的求解方法3.1 3.1 弦振动方程弦振动方程（一）齐次弦振动方程（达朗贝尔公式） 3)(),(,00022222xtuxuxtxuatutt定解问题的提出 齐次方程可以写为：齐次方程可以写为：0()() (, )aau x ttxtx 我们解方程一般是希望解出通解，再根据条件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很难界定，也较难求。研究表明，对无界情况的定解问题（波动方程和热传导）可以

2、求出通解，然后通过初始条件得到特解。4为常数，则方程化为、，使得和若能找到BAxatBxatA),(),(研究发现，当作变量代换研究发现，当作变量代换 此时通过方程两边积分，即可求出方程的通解。5atxatx,0u可满足前述要求，此时可满足前述要求，此时111222()txatxa txatx111222()txatxa txatx 0u0),(2u(1) (1) 通解通解对对 积分：积分：(, )( )u x tf 两边再对两边再对积分：得到积分：得到6212( )( )( )( )ufdfff 222220() (, )au x ttx积分常数依赖于积分常数依赖于 上式中上式中f f1 1

3、为任意二次连续可微函数为任意二次连续可微函数7)()(),(21fftxu故同理交换积分顺序，同样可以得到同理交换积分顺序，同样可以得到)()()()(),(211ffdfftxu此时此时f f2 2为任意二次连续可微函数为任意二次连续可微函数其中其中f1f1和和f2f2均为任意二次连续可微函数均为任意二次连续可微函数代入，得到将atxatx,)()(),(21atxfatxftxu上式即为通解形式上式即为通解形式确定待定函数的形式确定待定函数的形式无限长，即无边界条件无限长，即无边界条件初始条件为初始条件为0( )tux 和和0( )ttux ()x (2)(2)达朗贝尔公式达朗贝尔公式 1

4、2( )( )( )f xfxx 12( )( )( )afxafxx 8即即上面第二式两端对上面第二式两端对x积分，得到积分，得到xcdaxfxf021)(1)()(将上式和前面第一式联立，可求出将上式和前面第一式联立，可求出9xxcdaxxfcdaxxf02012)(21)(21)(2)(21)(21)(即即atxatxcdaatxatxfcdaatxatxf02012)(21)(21)(2)(21)(21)()()(),(21atxfatxftxu故atxatxdaatxatx)(21)()(21上式即为达朗贝尔公式上式即为达朗贝尔公式10（3 3）物理意义）物理意义先考虑先考虑u2=f

5、2（x-at）：）：当当t=t2（t2t1)时，时， u2=f2（x-at2）。）。 故波形故波形 u2=f2（x-at）随着时间推移，以常速度）随着时间推移，以常速度a向向x轴的正方向移动。我们称之为右行波。轴的正方向移动。我们称之为右行波。当当t=t1时，时， u2=f2（x-at1）；）； 同理同理 u1=f1（x+at）为一个以常速度）为一个以常速度a向向x轴的负方轴的负方向传播的行波。称为左行波。向传播的行波。称为左行波。 故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是波形式分别向两个方向传播出去，其

6、传播速度正好是弦振动方程中的常数弦振动方程中的常数a，故此方法又称为行波法。，故此方法又称为行波法。 从从达朗贝尔公式达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。额外的形式来。 而这种演化又受到边界条件的限制。而这种演化又受到边界条件的限制。 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。解时的重要性。1112（4 4）依赖区间、决定区域、影响区域）依赖区间、决定区域、影响区域 从达朗贝尔公式还可以

7、看出，解在点（从达朗贝尔公式还可以看出，解在点（x，t）的数）的数值仅依赖于区间值仅依赖于区间x-at,x+at上的初始条件，而与其他点上的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。称上的初始条件无关。称x-at,x+at为点（为点（x，t）的）的依赖依赖区间区间，它是由过点（，它是由过点（x，t）的两条斜率分别为）的两条斜率分别为1/a的直的直线在线在x轴所截得的区间，如下图所示。轴所截得的区间，如下图所示。tOx(x,t)x-atx+at13 当当t=0时，取时，取x轴上的区间轴上的区间x1,x2，过点，过点x1做斜率为做斜率为1/a的直线的直线x=x1+at，过点，过点x2做斜率为做斜率为-

8、1/a的直线的直线x=x2-at，两，两直线与区间直线与区间x1,x2围成一个三角区域（如下图所示），该围成一个三角区域（如下图所示），该区域内的任一点（区域内的任一点（x，t）的依赖区间都落在）的依赖区间都落在x1,x2内，即内，即解在这个区域内的数值完全由区间解在这个区域内的数值完全由区间x1,x2上的初始条件决上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间x1,x2的的决定区域决定区域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at14 若在区间若在区间x1,x2的两端作直线的两端作直线x=x1-at和和x=x2+at，则，则经

9、过时间经过时间t后，受后，受x1,x2上初始扰动影响的区域为上初始扰动影响的区域为 在此区域外的波动不受在此区域外的波动不受x1,x2上初始扰动的影响，上初始扰动的影响，这个区域称为这个区域称为 x1,x2的的影响区域影响区域。)0(21tatxxatxtOxx1x2x=x2+atx=x1-at15从上面的讨论可以看出，直线族从上面的讨论可以看出，直线族 在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称这两族直线为波动方程的特征线。这两族直线为波动方程的特征线。 在特征线在特征线x+at=c1上，左行波上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常）的振幅取

10、常数值数值f1（c1），同样在特征线），同样在特征线x-at=c2上，右行波上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常数值的振幅取常数值f2（c2），且这两个数值随特征线的移动），且这两个数值随特征线的移动（即常数（即常数c1和和c2的改变）而改变，所以波动实际上是沿着特的改变）而改变，所以波动实际上是沿着特征线传播的。征线传播的。（5 5）特征线及二阶线性偏微分方程的分类）特征线及二阶线性偏微分方程的分类常数atx16 我们把前面所用的变量代换称为特征变换，而行波我们把前面所用的变量代换称为特征变换，而行波法又称为特征线法。法又称为特征线法。 很容易发现，特征线很容易发现，特征线常数atx是

11、常微分方程是常微分方程0)()(222dtadx的积分曲线族。的积分曲线族。故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程。故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程。170222222FuyuExuDyuCyxuBxuA0)(2)(22dxCBdxdydyA对于一般的二阶线性偏微分方程对于一般的二阶线性偏微分方程来说，它的特征方程为来说，它的特征方程为 这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征曲线。可以看到，特征线仅与二阶导数项的系数有关，曲线。可以看到，特征线仅与二阶导数项的系数有关，而与低阶项系数无关。而与低阶项系数无关。 但是，并不是任意二阶线性偏微