线性代数5-3,4相似矩阵2

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1、ABBPAPPnBA是是则则称称矩矩阵阵，使使阶阶矩矩阵阵，若若存存在在可可逆逆阵阵都都是是与与设设 1,的的相似矩阵相似矩阵，定义定义7( (P.121 ) )一一 、相似矩阵、相似矩阵的的变变成成为为把把并并称称可可逆逆阵阵BAP相似变换阵相似变换阵.3 相似矩阵（相似矩阵（矩阵之间的又一种关系）矩阵之间的又一种关系），进进行行，称称为为对对进进行行运运算算对对APAPA1 相似变换相似变换又称又称A与与B相似相似.AB 存在可逆阵存在可逆阵P,Q, 使得使得 PAQ=B对方阵对方阵A和和B，若存在可逆阵，若存在可逆阵P,1PAPB 使得使得1111112kkkpppAp ppB 当然当然

2、A与与B的关系更密切，的关系更密切， 称作相似称作相似.二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质 2 矩阵相似具有自反性、对称性、传递性矩阵相似具有自反性、对称性、传递性. 1 A与与B相似相似 ？ A与与B等价等价. 相似与等价的关系相似与等价的关系1;EAEA 11;PAPBPBPA1111,PAPB Q BQCQ PAPQC 3 与数量阵与数量阵kE相似的矩阵只有相似的矩阵只有kE. 1PP kEPkE （可可逆逆，只只有有） 4 A与与B相似相似 ,则则 ()()R AR B kkkAkBAB 与相似；与相似(0k为整数)；与相似；与相似(0k为整数)；( )( )( )ABum与相似(为

3、 次多项式)与相似(为 次多项式) 5 A与与B相似相似 11BPAPPA PA1BPAP ABAB与 同时可逆或同时不可逆.与 同时可逆或同时不可逆.PAPAPPB11111)( 相相似似，与与可可逆逆时时11 BA.P且且相相似似变变换换阵阵仍仍为为1AP BP1n 对对角角阵阵的的特特征征值值 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值从而有相同的特征值. 6 定理定理3( (P121) )证证，使使由由条条件件知知存存在在可可逆逆阵阵BPAPP 1,EPPPAPEB11 PEAP)(1 PEAP 1EA 这表明这表明A与与B有相同特征值有相同特征值与相似

4、有相同的特征值。ABAEBE 设设 A与与B 相似，相似，反之不然，特征值相同的矩阵不一定相似反之不然，特征值相同的矩阵不一定相似!120nE 相相似似，与与对对角角阵阵若若 nA112,nA 则则是是 的的特特征征值值。 推论推论( (P.122) ) 1,n 为为12,nA 其中是 的特征值.其中是 的特征值.矩阵矩阵 A与对角阵与对角阵相似相似, 1n 则则必必有有= =，12,nAA 1 1n n反反之之，若若是是 的的特特征征值值， 与与 = =是是否否相相似似？不一定！不一定！考虑方阵与对角阵考虑方阵与对角阵 相似的条件！相似的条件！关于对角阵已经有了一些结果，需要进一步的研究关于

5、对角阵已经有了一些结果，需要进一步的研究解决了矩阵解决了矩阵 A与对角阵与对角阵相似时相似时, 的求法的求法! 1n 设设有有= =，则则?,T 1?,? ?,k ( )? 12()()()()n (p122)对一般矩阵对一般矩阵A， 是是A的特征多项式，的特征多项式，( )f ( ).f AO当当 与与 相似时相似时,容易证明容易证明A ( )fAE哈密尔顿哈密尔顿-凯莱定理（难证）凯莱定理（难证）O 112(,),nP APdiag p 可逆可逆,121()()()nffPPf i 是是A的特征值的特征值()0,if 1( )()f APfP 1AP P 而而O 若矩阵若矩阵 A与对角阵与

6、对角阵相似相似,三、矩阵可相似对角化的概念与条件三、矩阵可相似对角化的概念与条件则称矩阵则称矩阵 A可相似对角化可相似对角化.2、条件、条件 n 阶矩阵阶矩阵A与对角阵相似的与对角阵相似的充分必要条件充分必要条件为为 A 有有n 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量. 矩阵矩阵 A可相似对角化时，可相似对角化时， 相似变换阵相似变换阵P为为对角相似变换阵对角相似变换阵.推论推论1：若若A有有n个相异特征值个相异特征值 ,则则A可相似对角化可相似对角化.推论推论2：若：若A有有r(n)个相异特征值个相异特征值 ,(1,2,)iir 而对应的而对应的()iAE xO 方方程程组组的的解空间的维

7、数等于解空间的维数等于ii 的的重重数数r r则则A可相似对角化可相似对角化定理定理( (P.123定理定理4）1、概念、概念否则否则,不可不可。12()rrrrn( ()iiR AEnr 即存在即存在P可逆可逆,使使 ，1P AP 112(,)nnPppp AAn “ 与与对对角角阵阵 相相似似有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量”,nP 存存在在一一个个 阶阶可可逆逆阵阵，设设),(npppP21 12(,)nAPAp ApAp 则则),(nnppp2211 是是否否为为特特征征向向量量？iP定理的证明定理的证明,iiipAp ),2,1(ni 1,n 是是A A的的特特征征值值

8、是是特特征征向向量量。npp,11n 其其中中线性相关性？线性相关性？A与对角阵相似与对角阵相似 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量1PAP 使使得得A 由由 与与对对角角阵阵 相相似似APPo ？,为为非非零零向向量量npp 1P 的的列向量列向量 是是A的属于特征值的属于特征值 的的特征向量特征向量ipi112,(),nnpppP 令令，1,PAP 即即12(,)nAPAp ApAp 且且 nnppp121),(),(nnppp2211 P 12,niPPA i i设设P P是是 的的n n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量. .P P 属属于于可可逆逆PA可对角化.可

9、对角化.由充分性证明知由充分性证明知，若已知若已知A 的的 n 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 对角相似变换阵对角相似变换阵. 12,nppp，,.iiiiApppo 即即 12,nPpppA 则则为为 的的AnA“ 有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量可可相相似似对对角角化化”1n 且且相相似似对对角角阵阵= =，四、相似对角化的方法四、相似对角化的方法 1、求求A的特征值的特征值：12,n (n个特征值相异时，一定可对角化个特征值相异时，一定可对角化);2、设相异特征值为：设相异特征值为：12,r ,()iiAE xo对每个求解方程组，对每个求解方程组，若每个方程组解空

10、间的维数都分别若每个方程组解空间的维数都分别i 的重数，的重数，则则A可对角化可对角化；若某一个方程组解空间的维数若某一个方程组解空间的维数i 的的重重数数，则则A不可对角化不可对角化；3、A可对角化时，可对角化时，12(),iiiiirAE xo求求出出每每个个组组的的基基础础解解系系1211121,2122212,rrrrrrr 有有12()rrrrn令令1P 2P 1rP nP 12(,).nPppp 则则为为对对角角相相似似变变换换阵阵121nPAP iiPp 中的 与 中的 相对应!中的 与 中的 相对应!先先后后次次序序一一致致！1100010003P AP 且且, A判判断断 是

11、是否否可可对对角角化化 若若可可以以, ,求求变变换换阵阵P P. .解解 142252001EA3, 1321 2(1) (3)0 110101012相相似似。与与对对角角阵阵 A 000242242000, 132121xxx有有312,()pppP 或或例、例、1(2, 1, 0) ,Tp .)1, 1, 0(:333Tp 特特征征向向量量 000000121P = ?),(321pppP 100252241 A 2( 1, 0, 1)Tp 1300010001P AP 且且021110101 可对角化时，可对角化时， 相似变换阵不惟一，相似变换阵不惟一， 变成的对角阵也不惟一变成的对角