高等数学课后习题答案第十二章.docx
上传者：2623466021
2022-06-23 14:33:06上传
DOCX文件
440 KB
1 / 33
(1)；
(2)；
(3)；
解：(1)；
(2)；
(3)；
2．求下列级数的和：
(1)；
(2) ；
(3)；
解：(1)
从而
因此，故级数的和为
(2)因为
2 / 33
从而
所以，即级数的和为．
(3)因为
从而，即级数的和为．
3．判定下列级数的敛散性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)；
解：(1)
从而，故级数发散．
(2)
从而，故原级数收敛，其和为．
(3)此级数为的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．
3 / 33
(4)∵，而，故级数发散．
4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：
(1) ； (2) ；
(3) ．
解：(1)当P为偶数时，
当P为奇数时，
因而，对于任何自然数P，都有
，
∀ε>0，取，则当n>N时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛．
(2)对于任意自然数P，都有
4 / 33
于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N=，当n>N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．
(3)取P=n，则
从而取，则对任意的n∈N，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散．
5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
(1)；
(2)
(3)； (4) ；
(5)； (6) ．
5 / 33
解：(1)∵
而收敛，由比较审敛法知收敛．
(2)∵
而发散，由比较审敛法知，原级数发散．
(3)∵
而收敛，故也收敛．
(4)∵
而收敛，故收敛．
(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．
当a=1时，，级数发散．
当0<a<1时，，级数发散．
综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0<a≤1时，原级数发散．
(6)由知而发散，由比较审敛法知发散．
6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ； (2)；
(3)；
6 / 33
(1)
解：(1) ，，
由比值审敛法知，级数收敛．
(2)
所以原级数发散．
(3)
所以原级数发散．
(4)
故原级数收敛．
7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ； (2) ；
(3) ；
(4) ，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．
解：(1)，
故原级数发散．
8 / 33
(2) ，
故原级数收敛．
(3)，
故原级数收敛．
(4) ，
当b<a时，<1，原级数收敛；当b>a时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．
8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
(1)； (2)；
(3) ；
(4)； (5)；
(6) ．
解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．
(2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于
所以，发散，所以原级数条件收敛．
(3)民，显然，而是收敛的等比级数，故
8 / 33
收敛，所以原级数绝对收敛．
(4)因为．
故可得，得，
∴，原级数发散．
(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．
当0<α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．
当α≤0时，，所以原级数发散．
(6)由于
而发散，由此较审敛法知级数
发散．
记，则
即
又
10 / 33
由
知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．
9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．
(1) ，x∈[-3,3]； (2) ，x∈[0,1]；
(3) ，x∈(-∞,+∞)； (4) ，|x|<5；
(5) ，x∈(-∞,+∞)
解：(1)∵，x∈[-3,3]，
而由比值审敛法可知收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．
(2)∵，x∈[0,1]，
而收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．
(3)∵，x∈(-∞,+∞)，
而是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．
(4)因为，x∈(-5,5)，
由比值审敛法可知收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．
(5)∵，x∈(-∞,+∞)，
而是收敛的P-级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．
10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有|Un(x)|≤Vn(x)，则当在Ⅰ上一致收敛时，级数
10 / 33
在这区间Ⅰ上也一致收敛．
证：由在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N(ε)>0，
(1)；
(2)；
(3)；
解：(1)；
(2)；
(3)；
2．求下列级数的和：
(1)；
(2) ；
(3)；
解：(1)
从而
因此，故级数的和为
(2)因为
2 / 33
从而
所以，即级数的和为．
(3)因为
从而，即级数的和为．
3．判定下列级数的敛散性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)；
解：(1)
从而，故级数发散．
(2)
从而，故原级数收敛，其和为．
(3)此级数为的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．
3 / 33
(4)∵，而，故级数发散．
4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：
(1) ； (2) ；
(3) ．
解：(1)当P为偶数时，
当P为奇数时，
因而，对于任何自然数P，都有
，
∀ε>0，取，则当n>N时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛．
(2)对于任意自然数P，都有
4 / 33
于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N=，当n>N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．
(3)取P=n，则
从而取，则对任意的n∈N，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散．
5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
(1)；
(2)
(3)； (4) ；
(5)； (6) ．
5 / 33
解：(1)∵
而收敛，由比较审敛法知收敛．
(2)∵
而发散，由比较审敛法知，原级数发散．
(3)∵
而收敛，故也收敛．
(4)∵
而收敛，故收敛．
(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．
当a=1时，，级数发散．
当0<a<1时，，级数发散．
综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0<a≤1时，原级数发散．
(6)由知而发散，由比较审敛法知发散．
6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ； (2)；
(3)；
6 / 33
(1)
解：(1) ，，
由比值审敛法知，级数收敛．
(2)
所以原级数发散．
(3)
所以原级数发散．
(4)
故原级数收敛．
7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ； (2) ；
(3) ；
(4) ，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．
解：(1)，
故原级数发散．
8 / 33
(2) ，
故原级数收敛．
(3)，
故原级数收敛．
(4) ，
当b<a时，<1，原级数收敛；当b>a时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．
8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
(1)； (2)；
(3) ；
(4)； (5)；
(6) ．
解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．
(2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于
所以，发散，所以原级数条件收敛．
(3)民，显然，而是收敛的等比级数，故
8 / 33
收敛，所以原级数绝对收敛．
(4)因为．
故可得，得，
∴，原级数发散．
(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．
当0<α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．
当α≤0时，，所以原级数发散．
(6)由于
而发散，由此较审敛法知级数
发散．
记，则
即
又
10 / 33
由
知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．
9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．
(1) ，x∈[-3,3]； (2) ，x∈[0,1]；
(3) ，x∈(-∞,+∞)； (4) ，|x|<5；
(5) ，x∈(-∞,+∞)
解：(1)∵，x∈[-3,3]，
而由比值审敛法可知收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．
(2)∵，x∈[0,1]，
而收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．
(3)∵，x∈(-∞,+∞)，
而是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．
(4)因为，x∈(-5,5)，
由比值审敛法可知收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．
(5)∵，x∈(-∞,+∞)，
而是收敛的P-级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．
10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有|Un(x)|≤Vn(x)，则当在Ⅰ上一致收敛时，级数
10 / 33
在这区间Ⅰ上也一致收敛．
证：由在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N(ε)>0，
高等数学课后习题答案第十二章
