吕氏解析几何ch.5-4,5.

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1、1、 二次曲线的直径二次曲线的直径当直线平行于二次曲线的某个非渐近方向时当直线平行于二次曲线的某个非渐近方向时, 它与二次曲线总它与二次曲线总交于两点交于两点, 从而决定二次曲线的一条弦从而决定二次曲线的一条弦.证证 过点过点(x0; y0)平行于非渐近方向平行于非渐近方向X : Y 的直线与二次曲线的直线与二次曲线的交点的交点. 由由00,xy给出给出. 与确定中心情况一样与确定中心情况一样, (x0; y0)是两交点所成弦的中点是两交点所成弦的中点的充要条件是的充要条件是00,xy0:这证明了平行于方向这证明了平行于方向X:Y的弦的中点满足方程：的弦的中点满足方程：由于由于X : Y 是非

2、渐近方向是非渐近方向,即即这证明了这证明了是一条直线是一条直线.反之，若点反之，若点(x0; y0)在这条直线上在这条直线上, 则过则过(x0; y0)且且平行于方向平行于方向X : Y 的直线与二次曲线的交点所成弦，其中点的直线与二次曲线的交点所成弦，其中点 就就是是(x0; y0).00,xy00,xy00,xy则共轭于非渐近方向则共轭于非渐近方向X:Y的直径为的直径为且直径通过曲线中心且直径通过曲线中心(0, 0).则共轭于非渐近方向则共轭于非渐近方向X:Y的直径：的直径：且平行于它的渐近方向且平行于它的渐近方向1:0.此曲线为线心二次曲线此曲线为线心二次曲线, 由定理由定理(5.4.2

3、)知其直径仅有一条知其直径仅有一条, 即即为此线心二次曲线的中心直线。为此线心二次曲线的中心直线。解：解： 因为因为12,=1,1F x yxyFx yxy 所以，直径的方程为：所以，直径的方程为：110X xyYxy -10.X Yxy即： 因为已知曲线的渐近方向为：因为已知曲线的渐近方向为：:1:1XY ，所以，对于非渐近，所以，对于非渐近:X Y,:XYX Y一定有因此曲线的共轭于非渐近方向的直径为10.xy定理定理因此非渐近方向因此非渐近方向X:Y的共轭方向的共轭方向是渐近方向是渐近方向;0时，时，是非渐近方向是非渐近方向.(5.4-5): .X YXYXYX Y非渐近方向的共轭方向为

4、非渐近方向，而的共轭方向就是,5.4-5YYkkXX设代入得221211a kkakka=0.2211kkba对椭圆是： =0.22bkka即： =-.22bkka对双曲线是： =. : ,XYX Y 2211122220,a Xa XYa Y12,0,XF x yYFx y平行于非渐近方向平行于非渐近方向X:Y的弦的中点轨迹是直径的弦的中点轨迹是直径如果此直径的方向如果此直径的方向221112221323332220a xa xya ya xa ya12,0,XF x yYFx y 12221112:XYa Xa Ya Xa Y 与与X:Y垂直垂直. 则二次曲线则二次曲线F(x，y) = 0

5、关于直径关于直径12,0,XF x yYFx y对称对称, 从而有如下概念：从而有如下概念： 二次曲线的对称轴都可以按如下方法找到二次曲线的对称轴都可以按如下方法找到.我们知道方向我们知道方向X:Y与它的共轭方向与它的共轭方向垂直的条件是垂直的条件是: 12221112:XYa Xa Ya Xa Y 122211120X a Xa YY a Xa Y22121122 0aYXaaXY或改写上面的方程为：改写上面的方程为： 11121222a Xa Ya Xa YXY：因此有实数因此有实数使使5.5-1由于由于X, Y不全为不全为0, 必有必有这一方程叫二次曲线这一方程叫二次曲线 的特征方程的特

6、征方程.它的判别式它的判别式因此特征方程总因此特征方程总是实根是实根. 特征方程的根叫特征方程的根叫特征根特征根, 或特征值或特征值. 特征方程的两个根是特征方程的两个根是再由方程再由方程可以解出方向可以解出方向叫对应于叫对应于的主方向的主方向.是二次曲线的对称轴是二次曲线的对称轴.12 ,0,iiX F x yYFx y这时直线 iiiXY当0时， 对应的主方向： 是非渐近方向， iiiXY当=0时， 对应的主方向： 是渐近方向，由此可见：由此可见：故对称轴的求法是故对称轴的求法是:X Y002120II120II21122112212 00aaa aa即与1122120aaa定理定理5.5

7、.4. 中心二次曲线至少有两条对称轴中心二次曲线至少有两条对称轴, 非中心二次非中心二次曲线只有一条对称轴曲线只有一条对称轴.证证 由特征方程我们可以解得两特征根为由特征方程我们可以解得两特征根为(1)当二次曲线为中心曲线时当二次曲线为中心曲线时, I2 6= 0, 如果特征方程的判别式如果特征方程的判别式这时的中心曲线为这时的中心曲线为圆圆(包括点圆和虚圆包括点圆和虚圆). 它的特征根为一对二重根它的特征根为一对二重根1122=0 .aa将其代入将其代入(5.5-1), 则得到两个恒等式则得到两个恒等式. 它被任何方向它被任何方向X:Y所满足所满足, 所以所以任何实方向都是圆的非渐近主方向任

8、何实方向都是圆的非渐近主方向, 从而通过圆心的任何直线都是从而通过圆心的任何直线都是圆的对称轴圆的对称轴.如果特征方程的判别式如果特征方程的判别式那么特征根为两不等的非零实根那么特征根为两不等的非零实根得相应的两个非渐近主方向为得相应的两个非渐近主方向为将它们分别代入将它们分别代入(5.5-1)这两个主方向这两个主方向相互垂直相互垂直, 从而又从而又互相共轭互相共轭, 因此因此非圆的中心二非圆的中心二次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的对称轴次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的对称轴.(2)当二次曲线为非中心曲线时当二次曲线为非中心曲线时, I2 = 0. 这时两特征根为这时两特征根为所以

9、它只有一个非渐近主方向所以它只有一个非渐近主方向, 从而非中心二次曲线只有一条从而非中心二次曲线只有一条对称轴对称轴.解解 因为因为所以曲线为中心曲线所以曲线为中心曲线, 它的特征方程为它的特征方程为这个方程得两特征根为这个方程得两特征根为1所以曲线的对称轴为所以曲线的对称轴为与与即即x + y = 0与与x - y = 0.12111 12,0,11II 解：因为 2-2 =0，所以曲线为非中心曲线所以曲线为非中心曲线, 它的特征方程为它的特征方程为这个方程得两特征根为这个方程得两特征根为12=2=0，111:1:12,=XY 非渐近主由确定的主方向：为方向222:1=0:1,XY渐近主由确定的主方向：为方向12,2,F x yxyFx yxy 又因为 所以非中心曲线有惟一的主直径：所以非中心曲线有惟一的主直径： 20,xyxy 10.xy 即