第6章机械振动
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1、第6章 机械振动6.1 简谐振动的运动学描述6.2 简谐振动的动力学方程和能量6.3 几种常见的简谐振动6.4 阻尼振动 受迫振动 共振6.5 简谐振动的合成6.6 非线性振动简介oxt 机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 rE H Q iv广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 , , 该该物理量的运动形式称振动物理量的运动形式称振动, ,如物理量：如物理量：重要的振动形式是重要的振动形式是简谐振动简谐振动 simple harmonic vibration简谐振动是振动的基本模型简谐振动是振
2、动的基本模型，一般振动是多个简谐振动的一般振动是多个简谐振动的合成，合成，或者说：或者说：振动的理论建立在简谐振动的基础上。振动的理论建立在简谐振动的基础上。 以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质平衡位置：平衡位置：物体运动始终在物体运动始终在该位置该位置附近附近tAxcossinxAtt vddcos2Atv22cosaAttxvdd2cosaAtatotoxtovvmA 2maA ToxtvAAa2A位移位移xA振幅振幅最大位移；最大位移； 由初始条件决定由初始条件决定tAxcoskm0 xx弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：1T频率频率T周期周期圆频率（圆频
3、率（角频率角频率）2t相位（相位（位相位相 或或 周相周相）初相位（初相位（初位相初位相）取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择单位：单位：m单位：单位：m, cm单位：单位：Hz1Hz=1 1s单位：单位：s单位：单位：-1rad s单位：单位：rad单位：单位：radsin()vAt cos()2At 2cos()aAt 2cos()At cos()xAt 速度超前位移速度超前位移/2/2相位相位加速度超前速度位移加速度超前速度位移/2/2相位，相位，加速度超前位移加速度超前位移相位相位atotoxtovvxta 11cos()xAt 22cos()xAt 12 相位差：相位差：1201
4、20120121x2x的振动超前于的振动超前于 的振动的振动1x2x的振动落后于的振动落后于 的振动的振动1x2x与与 的振动同相位的振动同相位1x2x与与 的振动反相位的振动反相位22002vAx 100vtgx 0cosxA 0sinvA 解方程组可得：解方程组可得：由初始条件由初始条件 和和 有：有：0 x0vx(cm)0.25-0.5O t (s)2如图，求振动方程。如图，求振动方程。解：解：由图可知由图可知cmA5 .0sT2)1 (2sT初始条件：初始条件：000cos0.5cos0.25(cm)xA5 . 0cos003 0sin0A 0v0sin030)3cos(5 . 0tx
5、(cm)(cm)例例初始条件：初始条件：00v例题：证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动，并求出例题：证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动，并求出简简谐振动的谐振动的频率频率mg00nml证明：证明：Fmasinmgma22ddmlt22dsindglt22dsin0dlgt22dsin0dgtl5 ,sin设：设：2gl有：有：222d0dt 2gl12gl2lTgtAxcossinxAttvddcos2AtvxtAta22cosddcos2tAa频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系mAv2Aam相位差相位差速度超前于位移；加速度超前于速度速度超前于位移；加速度超前于速度均是作谐振动的物理量
6、均是作谐振动的物理量, ,xav)cos(0 tAxx-t 曲线曲线 v-x 曲线曲线位移位移xto2T23TTA直观描述振动状态直观描述振动状态位位移移xto o2TT23T2Tx2x1to2TT23Txx2x1比较两个振动的差异比较两个振动的差异位位移移xto o2TT23T2Tx2x1)cos(tAx用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动AA 以角速度以角速度逆时针转逆时针转xy0Atvv0 x在在x轴上的投影：轴上的投影：)(t 直观地表达了直观地表达了 直观地表达振动状态直观地表达振动状态x、v2coscos2cosxAtAtaAtvxaAAA2由图
7、看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2称两振动称两振动同相同相例如：例如：位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相0若若例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k 的弹簧组成的弹簧谐振子，的弹簧组成的弹簧谐振子， t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。时，质点过平衡位置且向正方向运动。求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间最短时间0ttt6776k mxo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的
8、旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 得得设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点22txmkxdd022xmktxdd0222xtxdd由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令mk2 简谐振动简谐振动整理得整理得以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例kmxoxkxxxFmatAxcos上述方程的特解之一为上述方程的特解之一为kmx0 x系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点21122mkxc2v22211sin ()22kEmmAt2v2mk222111222mkxmA2v221kA以弹簧谐振子为例：以弹簧谐振子为例：
9、cossinxAtAt v22211cos ()22pEkxkAtkpEEotxotpEkEpkEEETT2T2T2T2T6.3.1单摆单摆Ol mgT22ddsintsmmgls 很很小小又又22ddsintmlmgsin0dd22lgtttFmalgglT2tcos0令令6.3 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。 sinmglM sin当摆角很小时当摆角很小时则则 mglM o lCGmglJT22根据转动定律根据转动定律Jmglt2dd2当摆角很小时复摆在其平衡位置附近作当摆角很小时复摆在其平衡位置附近作
