概率论与数理统计4-3协方差及相关系数

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1、一、协方差与相关系数的一、协方差与相关系数的 概念及性质概念及性质二二、相关系数的意义相关系数的意义三、协方差矩阵三、协方差矩阵第第4.34.3节节 协方差及相关系数协方差及相关系数四、小结四、小结1. 问题的提出问题的提出 那那么么相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差).()(),ov(),Cov(.)()(,),(YEYXEXEYXC

2、YXYXYEYXEXEYX 即即记为记为的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量是二维随机变量是二维随机变量2. 定义定义.)()(),Cov(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 说明说明 .,)1(个个无无量量纲纲的的量量它它是是一一协协方方差差的的相相关关系系

3、数数又又称称为为标标准准和和YX4. 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 协方差的性质协方差的性质 );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov

4、(),Cov()2(为为常常数数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 6. 相关系数的性质相关系数的性质. 1)1( XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存存在在常常数数的的充充要要条条件件是是.),(),(222121相相关关系系数数的的与与试试求求设设YXNYX解解 22222121212122212121121yyxxyxp)()()()(exp),(由由,)()( xexpxX21212121.,)()( yeypyY22222221例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxpyxYXdd),()()

5、,Cov( 21而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于于是是结论结论;,)1(的的相相关关系系数数与与代代表表了了参参数数中中二二维维正正态态分分布布密密度度函函数数YX. )2(相相互互独独立立与与等等价价于于相相关关系系数数为为零零与与二二维维正正态态随随机机变变量量YXYX.2